1.3. Парадокс часу очікування транспорту на зупинці:

Історія парадокса:

Хоча сучасна технологія постійно зменшує втрати на час очікування, вони усе ще існують і багато в чому визначають нашу повсякденну нервозність. Тому за спробами математиків й інженерів скоротити час очікування стежать із більшим інтересом. А. Ерланг досліджував проблему часу очікування для телефонних станцій. В 30-і роки нашого століття В. Феллер увів поняття процесів загибелі й розмноження, що додало новий імпульс математичному аналізу часу очікування й багато в чому сприяло виникненню теорії дослідження операцій. Вивчення систем із чергами перетворилося в незалежну галузь науки на границі між теорією ймовірностей і дослідженням операцій.

Парадокс:

На автобусних зупинках звичайно вказується інтервал руху автобуса, тобто середній час між двома послідовними прибуттями автобусів. Припустимо, що на деякій автобусній зупинці інтервал руху становить 10 хв. Тоді природно вважати, що люди чекають автобус у середньому 5 хв. Однак виявляється, що середній час очікування може не тільки перевишувати 5 хв, але й бути нескінченним! (Досвід показує, що в повсякденному житті ситуація не настільки безнадійна.)

Пояснення парадокса:

Якби автобуси приходили на автобусну зупинку не тільки в середньому, але в точності кожні 10 хв, то середній час очікування в дійсності дорівнювався 5 хв. Однак насправді автобуси ходять "партіями" (за винятком випадку, коли ми перебуваємо недалеко від автобусної станції, звідки автобуси відправляються). Отже, час очікування має великий розкид щодо середнього значення. Припустимо, що інтервали часу між послідовними прибуттями автобусів є незалежними однаково розподіленими випадковими величинами з математичним очікуванням m і стандартним відхиленням s. Тоді можна показати, що середній час очікування дорівнює Т = (m² + s²) /2т. Нехай F (t) – функція розподілу і f (t) – щільність імовірності для інтервалів часу між послідовними прибуттями автобусів. (Зараз ми припустили існування щільності ймовірності, однак від цієї умови ціною деяких змін у міркуваннях можна відмовитися). Нехай час t виміряється від моменту відправлення останнього автобуса перед нашим приходом. Тоді щільність імовірності для випадкового інтервалу часу до прибуття наступного автобуса рівняється не f (t), а іншої функції, пропорційної tf (t), тобто tf (t)/m , тому що ймовірність нашої появи протягом деякого інтервалу часу пропорційна його довжині t. Таким чином, середній час очікування Т обчислюється по формулі:

(Щільність імовірності для нашого часу очікування дорівнює (1 – F(t))/m) Отже, T = т/2 тільки у випадку s = 0, але якщо s = , то і Т = . Ці крайні випадки, безумовно, далекі від реальності. У дійсності інтервали між прибуттями автобусів мають майже показове ("безвікове") розподіл з деяким параметром . Тоді m = s = 1/ , тобто Т = т. Це означає, що якщо частота руху становить 10 хв, той середній час очікування також дорівнює 10 хв, а не 5 хв.

Евристичне пояснення цього парадокса досить просто. Коли хтось приходить на автобусну зупинку у випадковий момент часу, то має більші шанси чекати довго. Його час очікування буде коротким, якщо він попадає на автобус із "партії", але автобуси в "партії" прибувають через малі інтервали, тому шансів встигнути на один з них небагато. Отже, якщо інтервали часу між послідовними прибуттями автобусів мають більшу дисперсію, ті лише деякі люди будуть чекати мало, а більшість – протягом довгого часу. Це означає, що середній час очікування Т великий.

Зауваження:

У нас часто виникає ілюзія, що куди б нам не треба було їхати, автобуси й трамваї частіше йдуть у протилежному напрямку. У дійсності це, природно, неможливо. Пояснення дуже просте. Ми бачимо тільки один автобус (на який ми сіли), що їде в потрібному нам напрямку, і в той же час позитивна ймовірність того, що, поки ми чекаємо, у протилежну сторону пройдуть два або три автобуси. Їхнє математичне очікування дорівнює

що дійсно більше 1/2, якщо s позитивно. Звідси випливає асиметрія між двома напрямками. Однак насправді це не так. Симетрія між двома напрямками полягає в тім, що ймовірність того, що жоден автобус не проїде в протилежному напрямку, поки ми чекаємо свій автобус, у точності дорівнює 1/2 (але якщо один автобус пройде в протилежному напрямку, то можуть пройти й трохи, тому можливо, що математичне очікування буде як завгодно більшим). Нехай p_k позначає ймовірність того, що, поки ми чекаємо, дорівнює k автобусів пройдуть у протилежному напрямку. Якщо інтервали між послідовними прибуттями автобусів мають показовий розподіл, то

у випадку рівномірного розподілу на інтервалі (0, 1) маємо

де k = 1, 2, …(p₀ завжди дорівнює 1/2)