2.1. Уравнение шредингера

Как известно, уравнения движения классической механики Ньютона не учитывают волновых свойств объектов, поэтому не пригодны для описания динамики микрочастиц. Для микрочастицы уравнение движения должно быть волновым, подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны. Поскольку состояние частицы в квантовой механике описывает волновая функция  (x,y,z,t) то искомое уравнение должно определять закон изменения этой функции.

1. Нестационарное уравнение шредингера

Основное уравнение (закон) нерелятивистской квантовой механики впервые сформулировал Э. Шредингер в 1926 году. Оно играет в квантовой механике такую же важную роль, как и уравнение второго закона Ньютона в классической механике.

Для микрочастицы массой m, движущейся в некотором силовом поле, нестационарное (временное) уравнение Шредингера имеет вид:

, (2.24)

где  =  |x, y, z, t|- искомая волновая функция микрочастицы,

i= -мнимая единица,

 - оператор Лапласа: ,

W_p- потенциальная функция частицы.

В том случае, когда W_p не зависит явно от времени, W_p имеет смысл потенциальной энергии частицы в силовом поле.

Уравнение (2.24) можно записать в более компактной символической форме

, (2.25)

где - оператор полной энергии – оператор Гамильтона (или гамильтониан).

Для решения уравнения Шредингера, то есть для отыскания  -функции, необходимо задать начальные временные условия, а также условия, определяющие движение частицы на границах рассматриваемого силового поля. Сама же волновая функция, описывающая реализуемые состояния микрочастицы, должна удовлетворять общим ограничительным условиям, сформулированным ранее (п. 2.3.1).

Доказательством правильности уравнения Шредингера является согласие с опытом тех выводов, к которым оно приводит.

2. Стационарное уравнение шредингера

Рассмотрим практически важный случай, когда микрочастица движется в стационарном силовом поле (например, электрон в атоме), т.е. функция W_p=W_p(x,y,z) является потенциальной энергией частицы. Решение уравнения (2.25) можно представить в виде произведения:

, (2.26)

в котором разделены переменные.

Функция ψ (x, y, z), зависящая только от координат, называется амплитудой волновой функции, она удовлетворяет тем же свойствам, что и функция  (x, y, z ,t). Подстановка (2.26) в (2.24) с последующим делением на ψ  дает

. (2.27)

Левая часть этого уравнения зависит только от времени, а правая – только от координат, поэтому равенство возможно лишь при условии, что обе части уравнения (2.27) равны одной и той же для данной W_p величине. Обозначим ее W и перепишем (2.27) в виде двух уравнений

, (2.28)

. (2.29)

Величина W имеет размерность энергии и смысл полной энергии микрочастицы.

Уравнение (2.28) легко интегрируется. Его решение зависит от конкретного значения параметра W :

. (2.30)

Уравнение (2.29) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний или амплитудным уравнением Шредингера. Для его решения необходимо знать конкретный вид функции W_Р(x, y, z) .

Подобные уравнения имеют бесчисленное множество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл.

Обозначим решение уравнения (2.29) _n (x, y, z) для случая, когда W=W_n . Волновая функция  (x,y,z,t) (2.26), таким образом, равна

. (2.31)

Она обладает тем важным свойством, что описываемое ею распределение плотности вероятности

не зависит от времени. Это означает, что распределение вероятности в пространстве стационарно. Состояния микрочастицы, удовлетворяющие этому условию, называются стационарными состояниями – состояниями с фиксированными значениями энергии. Такие состояния характерны для частиц в атомах, молекулах, твердых телах. В дальнейшем мы будем рассматривать только стационарные состояния квантовых систем, то есть пользоваться лишь амплитудным уравнением Шредингера (2.29).

Те значения полной энергии W=W_n, при которых уравнение Шредингера имеет решения, удовлетворяющие ограничительным условиям, называются собственными значениями энергии. Совокупность всех W_n для данной квантовой системы называется спектром собственных значений энергии. Этот спектр может быть сплошным, дискретным, зонным.

Решения уравнения Шредингера ψ_n, которые соответствуют собственным значениям энергии W_n, называются собственными волновыми функциями.

Возможны случаи, когда при одном и том же собственном значении энергии, например W_j , уравнение (2.29) имеет не одно, а несколько решений ψ _j^(N).

Тогда говорят, что данное состояние N - кратно вырождено.

Таким образом, для стационарного силового поля решение уравнения Шредингера сводится к отысканию всех значений W_j и всех собственных волновых функций ψ _j микрообъекта.