3 Итерация (оптимум)
-
0
5
12
4
0
-М
БП
БР
R
12
0
1
5
1
0
0
0
Оптимальное решение двойственной задачи, полученное с помощью симплекс-метода, приведено в табл.2: w= , =29/5, =0—2/5=—2/5. Этот же результат можно получить и непосредственно из симплекс-таблицы для прямой задачи (табл.1), если воспользоваться следующим уравнением:
Базисные переменные начального решения прямой задачи х4 и R (см. табл.1) имеют в оптимальном z-уравнении коэффициенты, равные 29/5 и -2/5+М соответственно. Ограничения двойственной задачи, соответствующие переменным x4 и R, записываются как yl ≥0, y2 ≥-М. Эти данные удобно представить в следующей форме:
-
Начальные базисные переменные
прямой задачи
x4
R
Коэффициенты в оптимальном z-уравнении (индексная строка)
Разность между левыми и правыми частями соответствующих ограничений двойственной задачи, ассоциированных с начальными переменными прямой задачи
yl -0
y2-(-М)
Используя приведенное выше уравнение, получим
29/5=yl - 0 и -2/5+М = y2-(-М).
Откуда yl =29/5 и y2=—2/5, что полностью соответствует данным, представленным в симплекс-таблице для оптимального решения двойственной задачи. Оптимальное решение прямой задачи также непосредственно определяется из симплекс-таблицы для оптимального решения для двойственной задачи.
Теорема:
Если одна из пары двойственных задач имеет оптимальное решение, то и двойственная к ней имеет оптимальное решение; причем значения целевых функций на своих оптимальных решениях совпадают. Если же одна из пары двойственных задач не имеет решения ввиду неограниченности целевой функции, то другая не имеет решения ввиду несовместности системы ограничений.
Соотношения, описывающие взаимосвязь прямой и двойственной задач, удобно представить, используя операции с матрицами. В вычислительных схемах, использующих взаимосвязь прямой и двойственной задач, существенное значение имеет размещение элементов исходной симплекс-таблицы. Особенность их размещения заключается в том, что m переменным начального базиса всегда отводятся последние m столбцов левой части симплекс-таблицы. Кроме того, соответствующая часть таблицы, содержащая коэффициенты ограничений, ассоциированных с этими переменными, представляет собой единичную матрицу.
Такое расположение элементов симплекс-таблицы позволяет извлечь из нее важную информацию. На рис.1 представлено схематическое изображение симплекс-таблицы, соответствующей любой итерации. Верхняя строка соответствует z-уравнению, а столбцы составлены из коэффициентов, фигурирующих в ограничениях при соответствующих переменных. Матрица, расположенная под начальными базисными переменными, называется обратной матрицей, и ее положение в таблице всегда должно быть таким, как показано на рис.1.
Рис.1
С помощью обратной матрицы можно вычислить значения двойственных переменных по такому правилу:
Для нашего примера:
.