Классификация игр.

Игры можно классифицировать по различным признакам.

1. По количеству игроков (игры 2 и n игроков).

Игра, в которой участвуют два игрока, называется парной.

2. По количеству стратегий.

В зависимости от числа стратегий игры делятся на «конечные» и «бесконечные». Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется в распоряжении только конечное число стратегий (в противном случае игра называется бесконечной). Бывают игры (например, шахматы), где в принципе число стратегий конечно, но так велико, что полный их перебор практически невозможен.

3. По характеру взаимодействия игроков.

По характеру взаимодействия игроков игры делятся на:

1. бескоалиционные – игроки не имеют права вступать в соглашения, образовывать коалиции;

2. коалиционные (кооперативные)– игроки могут вступать в коалиции.

4. По характеру выигрыша.

По характеру выигрыша игры можно разделить на антагонистические и игры с ненулевой суммой.

Игра называется игрой с нулевой суммой , если сумма выигрышей всех игроков в любой игровой ситуации равна нулю (т. е. каждый игрок выигрывает только за счет других).

5. По характеру получения информации.

По характеру получения информации игры делятся на:

1. игры в нормальной форме – игроки получают всю предназначенную им информацию до начала игры;

2. динамические игры – информация поступает игрокам в процессе развития игры.

Антагонистические матричные игры.

Парная, конечная, антагонистическая игра называется матричной.

Рассмотрим такую игру G(X,Y,K), в которой участвуют два игрока, имеющие противоположные интересы: выигрыш одного равен проигрышу другого. Так как выигрыш первого игрока равен выигрышу второго игрока с обратным знаком, мы можем интересоваться только выигрышем а первого игрока. Естественно, первый игрок хочет максимизировать, а второй — минимизировать а.

X и Y -- непустые множества стратегий для 1 и 2 игроков соответственно, элементы декартова произведения X×Y (т.е. пары стратегий (x,y), где x , y --ситуации), а функция К: X×Y→R называется функцией выигрыша первого игрока.

Пусть у первого игрока имеется m стратегий, а у второго игрока n стратегий. Допустим, что из своих m стратегий первый игрок выбирает i-ю (i=1,…,m), а второй игрок j-ю (j=1,…,n). Тогда определяется выигрыш первого игрока, равный . Если выигрыш равен отрицательному числу, то речь идет о фактическом проигрыше игрока. Матрица А

называется платежной матрицей, или матрицей выигрыша:

Решение матричной игры в чистых стратегиях.

Главным в исследовании игр является понятие оптимальных стратегий игроков. В это понятие интуитивно вкладывается такой смысл: стратегия игрока является оптимальной, если применение этой стратегии обеспечивает ему наибольший гарантированный выигрыш при всевозможных стратегиях другого игрока.

Исходя из этих позиций, игрок 1 исследует матрицу выигрышей А следующим образом:

для каждого значения i (i =1,2,..,m) определяется минимальное значение выигрыша в зависимости от применяемых 2-м игроком стратегий j( i =1,2,..n): .

Т.е. определяется минимальный выигрыш для игрока 1 при условии, что он примет свою i-ю чистую стратегию, а затем из этих минимальных выигрышей отыскивается такая стратегия i = i_o, при которой этот минимальный выигрыш будет максимальным, т.е. находится

.

Число называется нижней ценой игры и показывает, какой наибольший гарантированный выигрыш может обеспечить себе игрок 1, применяя свои чистые стратегии при всевозможных действиях игрока 2.

Принцип оптимальности в поведении 1-го игрока, который заключается в достижении им наибольшего гарантированного выигрыша, называется принципом максимина, т.е. - это максимин. Оптимальная стратегия 1-го игрока, при которой достигается , называется максиминной.

Игрок 2 при оптимальном своём поведении должен стремиться по возможности за счёт своих стратегий максимально уменьшить выигрыш игрока 1:

Поэтому для игрока 2 отыскивается , т.е. определяется максимальный проигрыш игрока 1, при условии, что игрок 2 применит свою j-ю стратегию

При этом наименьший из возможных проигрышей составит

.

Число называется верхней иеной игры. Принцип оптимальности в поведении 2-го игрока, который заключается в достижении им наименьшего из возможного проигрыша, называется принципом минимакса, т.е. - это минимакс. Оптимальная стратегия 2-го игрока, при которой достигается , называется минимаксной.

Теорема:

Нижняя цена игры не превосходит верхней цены игры.

Доказательство.

и

,

, ( ).

,

. Т.о., теорема доказана.

Пример:

Оптимальной ситуацией в игре G= (X, Y, К) называют пару стратегий ( ), от которой ни одному из игроков невыгодно отклоняться.

Такая ситуация ( ) называется равновесной, а принцип оптимальности, основанный на построении равновесной ситуации,— принципом равновесия.

В антагонистической игре G=(Х, Y, К) ситуация ( ) называется ситуацией равновесия или седловой точкой, если . Число v = называется значением игры.

Если в игре с матрицей А , то говорят, что эта игра имеет решение в чистых стратегиях и точка матрицы выигрыша ( ), для которой выполняется условие для всех , называется седловой точкой.

В седловой точке элемент матрицы является одновременно минимумом в своей строке и максимумом в своем столбце (см. рис.).

Теорема:

Матричная игра G(X,Y,K) имеет решение ( , v) в чистых стратегиях игровая ситуация ( )является равновесной.

Игры, в которых достигается ситуация равновесия, называются вполне определенными.

Решение игры в смешанных стратегиях.

Исследование в матричных играх начинается с нахождения её седловой точки в чистых стратегиях. Если матричная игра имеет седловую точку в чистых стратегиях, то нахождением этой седловой точки заканчивается исследование игры. Если же в игре нет седловой точки в чистых стратегиях, то можно найти нижнюю и верхнюю чистые цены этой игры, которые указывают, что игрок 1 не должен надеяться на выигрыш больший, чем верхняя цена игры, и может быть уверен в получении выигрыша не меньше нижней цены игры. Улучшение решений матричных игр следует искать в использовании секретности применения чистых стратегий и возможности многократного повторения игр в виде партии. Этот результат достигается путём применения чистых стратегий случайно, с определённой вероятностью.

Смешанной стратегией игрока называется полный набор вероятностей применения его чистых стратегий.

Пусть имеется матричная игра G(X,Y,K). Если игрок 1 имеет m чистых стратегий 1,2,... m, то вектор х = (p₁, p₂,..., p_m), где , i=1,2,…,m есть смешанная стратегия первого игрока.

Аналогично для игрока 2, который имеет n чистых стратегий, смешанная стратегия у - это вектор y = (q₁, q₂,..., q_n), где , i=1,2,…,n.

Чистая стратегия есть частный случай смешанной стратегии. Действительно, если в смешанной стратегии какая-либо i-я чистая стратегия применяется с вероятностью 1, то все остальные чистые стратегии не применяются. И эта i-я чистая стратегия является частным случаем смешанной стратегии.

Оптимальная стратегия игрока – это стратегия, обеспечивающая ему максимально возможный гарантированный средний выигрыш при достаточно большом повторении ходов игры.

Средний выигрыш игрока K(X,Y) 1 в матричной игре с матрицей А выражается в виде математического ожидания его выигрышей

Первый игрок имеет целью за счёт изменения своих смешанных стратегий х максимально увеличить свой средний выигрыш K(X,Y)=M(А, х, у), а второй - за счёт своих смешанных стратегий стремится сделать M(А, х, у) минимальным, т.е. для решения игры необходимо найти такие х и у, при которых достигается верхняя цена игры , а нижняя цена игры должна быть равна .

Подобно играм, имеющим седловые точки в чистых стратегиях, вводится следующее определение: оптимальными смешанными стратегиями игроков 1 и 2 называются такие наборы (х*, у*) соответственно, которые удовлетворяют равенству .

Величина v=M(А, х* ,у*) называется при этом ценой игры.

Имеется и другое определение оптимальных смешанных стратегий: (х*, у*) называются оптимальными смешанными стратегиями соответственно игроков 1 и 2, если они образуют седловую точку:

M(А, х, y*) M(А, х*, y*) M(А, х*, у)

Оптимальные смешанные стратегии и цена игры

(х* ,у*, v) называются решением матричной игры.

Теорема:

Всякая матричная игра имеет ситуацию равновесия (седловую точку) в смешанных стратегиях.

Доказательство указанной теоремы заключается в сведении матричной игры к паре двойственных задач линейного программирования. Связь между теорией игр и линейным программированием была установлена в 1951 году американским математиком Данцигом.

Свойства решений матричных игр.

Обозначим через G (X, Y,K) игру двух лиц с нулевой суммой, в которой игрок 1 выбирает стратегию х X, игрок 2 - у У, после чего игрок 1 получает выигрыш K(х, у) за счёт игрока 2.

Стратегия игрока 1 доминирует (строго доминирует) над стратегией , если

К( , у) ( , у) К( , у)>K( , у) для всех у Y.

Стратегия игрока 2 доминирует (строго доминирует) над стратегией , если

K(х, ) <K(х, ) (K(х, <K(х, )), х Х.

При этом стратегии и называются доминируемыми (строго доминируемыми).

Кроме изложенных методов доминирования (мажорирования) платежных матриц по строкам для первого игрока и по столбцам для второго существуют и другие (с так называемым взвешиванием по строкам и столбцам).

Спектром смешанной стратегии игрока в конечной антагонистической игре называется множество всех его чистых стратегий, вероятность которых согласно этой стратегии положительна.

Будем в дальнейшем под матричной игрой G(X,Y,K) иметь в виду G(X,Y,A), где А – матрица выигрышей.

1) Ни одна строго доминируемая чистая стратегия игрока не содержится в спектре его оптимальной стратегии.

Игра G = (Х,Y,А) называется подыгрой игры G (Х,Y,А), если Х Х,

 , а матрица А является подматрицей матрицы А.

Если х = (p₁, p₂,..., p_m) Х и , то расширением стратегии x на i-том месте будем называть вектор

х'_i = (p₁, p₂,..., p_i-1, 0, p_i,…, p_m) .

Так расширение вектора (1/3, 2/3, 1/3) на 2-м месте является вектор

(1/3, 0, 2/3, 1/3).

2) Для нахождения оптимальных стратегий вместо игры G(Х,Y,А) достаточно решить подыгру G = (Х,Y,А), где А - матрица, получаемая из матрицы А вычеркиванием доминируемых строк и столбцов.

Теорема:

Пусть G (Х,Y,А) -игра. Предположим, что i-я строка матрицы А доминируема (т. е. доминируема чистая стратегия i первого игрока) и

пусть G = (Х,Y,А) — игра с матрицей А', получаемой из А вычеркиванием i-й строки. Тогда справедливы следующие утверждения.

1) Значения игр совпадают

2) Всякая оптимальная стратегия у* игрока 2 в игре G = (Х,Y,А) является оптимальной и в игре G = (Х,Y,А).

3) Если х* — произвольная оптимальная стратегия игрока 1 в игре

G=(Х,Y,А) и — расширение стратегии х* на i-м месте, то — оптимальная стратегия этого игрока в игре G = (Х,Y,А).

4) Если i-я строка матрицы А строго доминируема, то произвольная оптимальная стратегия игрока 1 в игре G = (Х,Y,А) может быть получена из некоторой оптимальной стратегии х* в игре G =(Х,Y,А) расширением на i-м месте.

Теорема:

Пусть G (Х,Y,А)-игра. Предположим, что j-й столбец матрицы А доминируем и пусть G = (Х,Y,А) - игра с матрицей А', получаемой из А вычеркиванием j-го столбца. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) Значения игр совпадают .

2) Всякая оптимальная стратегия х* игрока 1 в игре G (Х,Y,А) является оптимальной и в игре G = (Х,Y,А).

3) Если у* — произвольная оптимальная стратегия игрока 2 в игре

G = (Х,Y,А) и — расширение стратегии у* на j-м месте, то —оптимальная стратегия игрока 2 в игре G = (Х,Y,А).

4) Далее, если j-й столбец матрицы А строго доминируем, то произвольная оптимальная стратегия игрока 2 в игреG = (Х,Y,А) может быть получена из некоторой оптимальной стратегии у* в игре G = (Х,Y,А) расширением на j-м месте.

3) Тройка (х*, y*,v) является решением игры G = (Х,Y,A) тогда и только тогда, когда (х*, y*, bv +а) является решением игры G(Х,Y,bA+а),

где || || — матрица, в которой все элементы равны =a – любое вещественное число, b > 0.

Замечание. Отметим, что исключение доминируемых (не строго) стратегий может привести к потере некоторых решений. Если же исключаются только строго доминируемые стратегии, то множество решений игры не изменится.

Сведение матричной игры к задаче линейного программирования.

Теорема:

Пусть v>0. Для того, чтобы тройка (х*, у*, v) являлась решением игры G = (Х,Y,А) в смешанных стратегиях, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1) для первого игрока:

2) для второго игрока:

Разделим все уравнения и неравенства в (1) и (2) на v (это можно сделать, т.к. по предположению v > 0) и введём обозначения :

, ,

Тогда (1) и (2) перепишется в виде :

, , , ,

, , , .

Поскольку первый игрок стремится максимизировать v, то решение первой задачи сводится к нахождению таких неотрицательных значений x_i , при которых

при условии 3)

Поскольку второй игрок стремится минимизировать v, то решение второй задачи сводится к нахождению таких неотрицательных значений y_j , при которых

при условии .

Формулы (3) и (4) выражают двойственные друг другу задачи линейного программирования (ЛП).

Решив эти задачи, получим значения x_i , y_j и v. Тогда смешанные стратегии получаются по формулам :