Задачи о маршрутизации.

Методом динамического программирования с успехом решаются задачи, приводящиеся к сетевым моделям. Пусть имеется совокупность пунктов, узлов, каждый из которых соединен с остальными. Каждой соединительной линии сопоставлено число, называемое весом линии. Если узлы – это точки на местности, соединенные линией дорог, то веса линий – это длины дорог. Выбирается 2 пункта (начальный и конечный). Рассмотрим задачу нахождения наикратчайшего маршрута между двумя пунктами. К рассматриваемой задаче сводятся и задачи о надежности сетей (связи, компьютеров, газопроводов и т.д. Пусть дана сеть, каждый узел и каждая соединительная линия которой описывается вероятностью отказа. Требуется найти для заданной пары узлов путь, вероятность отказа которого была бы минимальной. Это задача выбора наиболее надежного маршрута передачи.

Пример:

Дана сеть. Найти кратчайший путь из пункта 0 в пункт 9.

Решение.

Для разбиения задачи на этапы выделим в схеме (графе) слои.

В 1-ый слой попадает конечная вершина (т.е. вершина 9) или вершины, если конечных вершин несколько.

Во 2-й слой попадут вершины, из которых можно попасть в конечные непосредственно (т.е. за один шаг). В примере – это вершины 2, 4, 6, 8.

В i-й слой попадают вершины, которые соединены ориентированной дугой хотя бы с одной вершиной (i-1)-го слоя (ориентация дуги от вершины i-го слоя к вершине (i-1)-го слоя).

При этом необходимо соблюдать следующие принципы:

1. каждая дуга может быть просмотрена только один раз;

2. Отсутствие направляющей стрелки у дуги означает существование на данном участке двух противоположно направленных дуг;

3. Процесс продолжается до тех пор, пока на очередном этапе слой не будет содержать вершин, т.е. будет пуст.

i-м этапом решения является оценка стоимости перемещения из i-го слоя в (i+1)-й.

- минимально возможные затраты на переезд из вершины i-го слоя в вершину (i+1)-го слоя, если эти вершины соединены.

Уравнение Беллмана: где .

Переходим к заполнению таблиц.

Выделим слои:

1:9

2:1,4,6,8

3:0,1,2,3,5,7,8

4:0,1,3,7

Перенумеруем слои в обратном порядке:

4:9

3:1,4,6,8

2:0,1,2,3,5,7,8

1:0,1,3,7

Таблица1.

	=9
2	16	16	9
4	8	8	9
6	4	4	9
8	14	14	9

Таблица2.

	=2	=4	=6	=8
0	3+16= =19	-	-	-	19	2
1	11+16= =27	-	-	-	27	2
2	-	10+8= =18	-	-	18	4
3	5+16= =21	10+8= =18	-	-	18	4
5	-	16+8= =24	15+4= =19	-	19	6
7	-	-	11+4= =15	12+14= =26	15	6
8	-	-	9+4= =13	-	13	6

Для нахождения длины наикратчайшего маршрута просматриваются все строки в таблицах, в которых значение переменной равно номеру начальной вершины 0, и среди этих строк находится те или та, в которых значение соответствующей функции минимально. В данной задаче 0 является значением переменных и : , . Наименьшим из этих значений является . Из =0, =2 следует = =2, откуда из первой таблицы получаем =9. Т.о., маршрут минимальной длины (=19) будет такой: 0→2→9.

Принятие решений в условиях конфликта (Элементы теории игр).

Основные понятия.

Наиболее простыми из ситуаций, содержащих «дурную» неопределенность, являются так называемые конфликтные ситуации — ситуации, в которых сталкиваются интересы двух (или более) сторон, преследующих разные (иногда противоположные) цели, причем выигрыш каждой стороны зависит от того, как себя поведут другие.

Примеры конфликтных ситуаций многообразны. К ним, безусловно, принадлежит любая ситуация, складывающаяся в ходе боевых действий, ряд ситуаций в области экономики (особенно в условиях конкуренции), права, в судопроизводстве, в спорте, видовой борьбе. В некотором смысле «конфликтной» можно считать и ситуацию с несколькими критериями: каждый из них предъявляет к управлению свои требования и, как правило, эти требования противоречивы.

Теория игр представляет собой математическую теорию конфликтных ситуаций. Ее цель — выработка рекомендаций по разумному поведению участников конфликта, выявление оптимальных стратегий игроков. Чтобы сделать возможным математический анализ конфликта, строится его математическая модель. Такую модель называют игрой.

От реального конфликта игра отличается тем, что ведется по определенным правилам. Эти правила указывают «права и обязанности» участников, а также исход игры — выигрыш или проигрыш каждого участника в зависимости от сложившейся обстановки. Человечество издавна пользуется такими формализованными моделями конфликтов — «играми» в буквальном смысле слова (шашки, шахматы, карточные игры и т.п. ). Отсюда и название «теории игр», и ее терминология: конфликтующие стороны условно называются «игроками», одно осуществление игры — «партией», исход игры — «выигрышем» или «проигрышем».

Развитие игры во времени можно представлять как ряд последовательных «ходов» участников. Ходом называется выбор игроком одного из предусмотренных правилами игры действий и его осуществление. Ходы бывают личные и случайные. При личном ходе игрок сознательно выбирает и осуществляет тот или другой вариант действий (пример — любой ход в шахматах). При случайном ходе выбор осуществляется не волей игрока, а каким-то механизмом случайного выбора (бросание монеты, игральной кости, вынимание карты из колоды и т. п.). Некоторые игры (так называемые «чисто азартные») состоят только из случайных ходов — ими теория игр не занимается. Ее цель — оптимизация поведения игрока в игре, где (может быть, наряду со случайными) есть личные ходы. Такие игры называются стратегическими.

Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации.

Обычно, участвуя в игре, игрок не следует каким-либо жестким, «железным» правилам: выбор (решение) принимается им в ходе игры, когда он непосредственно наблюдает ситуацию. Однако теоретически дело не изменится, если предположить, что все эти решения приняты игроком заранее («если сложится такая-то ситуация, я поступлю так-то»). Это будет значить, что игрок выбрал определенную стратегию. Теперь он может и не участвовать в игре лично, а передать список правил незаинтересованному лицу (судье). Стратегия также может быть задана машине-автомату в виде программы (именно так играют в шахматы ЭВМ).

Оптимальной стратегией игрока называется такая, которая обеспечивает ему наилучшее положение в данной игре, т. е. максимальный выигрыш. Если игра повторяется неоднократно и содержит, кроме личных, еще и случайные ходы, оптимальная стратегия обеспечивает максимальный средний выигрыш. Основное предположение, исходя из которого находятся оптимальные стратегии, состоит в том, что противник (в общем случае — противники) по меньшей мере так же разумен, как и сам игрок, и делает все для того, чтобы добиться своей цели. Расчет на разумного противника — лишь одна из возможных позиций в конфликте, но в теории игр именно она кладется в основу.