Линейное программирование.

Исследование различных процессов обычно начинается с их моделирования, т.е. отражения peaльного процесса через математические соотношения.

Линейное программирование – это наука о методах исследования и отыскания наибольших и наименьших значений линейной функции нескольких переменных, на неизвестные которой наложены линейные ограничения.

Линейное программирование оформилось как отдельный раздел прикладной математики в 40-50 гг. 20 в., когда выяснилось, что целый ряд задач из сферы планирования, управления, военного дела и т.д. может быть сформулирован в виде задач линейного программирования. Подсчитано, что в настоящее время примерно 80-85% всех решаемых на практике задач оптимизации относится к задачам линейного программирования.

Основная задача линейного программирования.

В общем случае задача линейного программирования записывается так, что ограничения являются как уравнениями, так и неравенствами, а переменные могут быть как неотрицательными, так и произвольно изменяющимися.

Основной задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения функции

, (1)

при условиях (2)

, (3)

где , , - некоторые заданные постоянные величины. Функция (1) называется целевой функцией задачи (1) – (3), а условия (2) – (3) ее ограничениями, где (3) – условия неотрицательности переменных.

Канонической задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения функции (1) при условиях:

( );

.

Совокупность чисел , удовлетворяющая ограничениям задачи (2) – (3), называется допустимым решением (или планом).

План , при котором целевая функция принимает свое максимальное (минимальное) значение, называется оптимальным.

Чтобы перейти от одной формы записи задачи линейного программирования к другой, нужно в общем случае уметь:

1. сводить задачу минимизации функции к задаче максимизации и наоборот, используя правило:

.

Оптимальные решения полученных таким образом задач на максимум и минимум совпадают, а значения целевых функций отличаются только знаком.

2. переходить от ограничений неравенств к ограничениям равенствам:

Ограничения – неравенства вида « » в задаче линейного программирования можно преобразовать в ограничения – равенства путем введения дополнительной неотрицательной переменной, прибавив ее к левой части, а неравенство вида « » превращается в ограничение – равенство путем вычитания из его левой части дополнительной неотрицательной переменной.

Например, неравенство заменяем равенством путем добавления дополнительной неотрицательной балансовой переменной к левой части исходного ограничения. Дополнительные переменные вводятся в целевую функцию с нулевыми коэффициентами и поэтому не влияют на ее значение.

3. заменять переменные, которые не подчинены условию неотрицательности:

Любую переменную , не имеющую ограничение в знаке, можно представить как разность двух неотрицательных переменных:

, где .