Расстояние от точки до плоскости. Геометрический смысл знака многочлена
1 Даны точки
,
,
,
,
,
и плоскости:
а)
;
б)
.
Для каждой из данных плоскостей среди указанных точек выбрать те, которые лежат по ту же сторону от плоскости, что и начало координат.
2 Дана плоскость
.
Указать, какие из пар точек, приведенных
ниже, лежат по одну и ту же сторону от
данной плоскости:
а) О (0; 0; 0) и А (2; 1;
0); б)
И
;
В)
И
.
Две пересекающиеся плоскости
и
делят множество точек пространства,
не лежащих на них, на четыре двугранных
угла (области). Составить систему
неравенств, определяющих внутреннюю
область двугранного угла, которому
принадлежит точка М (3; 1; 2).Привести к нормальному виду уравнения плоскостей:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
Найти расстояние от точки до плоскости в каждом из следующих случаев:
а)
,
;
б)
,
.
6 Установить
расположение плоскости
относительно сферы в каждом из следующих
случаев:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
7 Вычислить расстояние между следующими парами параллельных плоскостей:
а)
;
;
б)
;
;
в)
;
.
На оси Оz найти точку, равноудаленную от точки М (1; 1; 4) и от плоскости
.Составить уравнения множества точек, отстоящих от плоскости
на расстоянии, равном 3.Составить уравнения множества точек, равноудаленных от двух параллельных плоскостей в каждом из следующих случаев:
а)
и
;
б)
и
.
Написать уравнение плоскостей, делящих пополам двугранные углы между плоскостями:
а)
и
;
б)
и
.
Доказать, что плоскость
пересекает отрезок, ограниченный
точками
и
.Две грани куба лежат на плоскостях
и
.
Вычислить объем этого куба.Определить, лежит ли начало координат внутри острого или тупого угла, образованного двумя плоскостями
,
.Составить уравнение плоскости, делящей пополам тот двугранный угол между двумя плоскостями
,
,
в котором лежит начало координат.Составить уравнение плоскости, делящей пополам тот двугранный угол между двумя плоскостями
,
,
в котором лежит точка М (1; 2; -3).Составить уравнение плоскости, которая делит пополам острый двугранный угол, образованный двумя плоскостями
и
.Составить уравнение плоскости, которая делит пополам тупой двугранный угол, образованный двумя плоскостями
,
.
Имеет место утверждение:
Пусть плоскости
и
,
заданные в прямоугольной декартовой
системе координат уравнениям
,
,
пересекаются, но не перпендикулярны
друг другу. Тогда внутренние области
двух вертикальных двугранных острых
углов, образованных этими плоскостями,
характеризуются неравенством
,
а внутренние области двух вертикальных
двугранных тупых углов - неравенством
.
Прямая линия в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей
Определить координаты нескольких точек, лежащих на прямых:
а)
;
б)
в)
Определить координаты точки, лежащей на прямой
и имеющей:
а) абсциссу, равную 3;
б) ординату, равную – 1.
Составить уравнения прямой:
а) проходящей
через точку
и
параллельной вектору
;
б) проходящей через
две точки
,
;
в) образованной
пересечением плоскости
с координатной плоскостью Оху;
г) образованной
пересечением плоскости
с плоскостью, проходящей через точки А
(2; 0; 3), В (1; 1; 1), С (2; 4; -3).
4 Написать параметрические уравнения следующих прямых:
а)
;
б)
в)
5 Через точку М (1;
-3; 4) провести прямую, параллельную прямой
6 Доказать, что
прямые
и
лежат в одной плоскости и написать
уравнение этой плоскости.
7 Составить уравнение
плоскости, проходящей через прямую
и параллельной прямой
8 Составить уравнение
плоскости, проходящей через точку
и параллельной прямым
и
9 Через точки
и
проведена прямая. Определить точки
пересечения этой прямой с координатными
плоскостями.
10 Даны вершины треугольника А (3; -1; -1), В (1; 2; -7) и С (-5; 14; -3). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине В.
11 Даны вершины треугольника А (1; -2; -4), В (3; 1; -3) и С (5; 1; -7). Составить параметрические уравнения высоты, опущенной из вершины В на противоположную сторону.
12 Составить канонические уравнения следующих прямых:
а)
;
б)
в)
13 Доказать, что
прямая
пересекает плоскость
.
Найти координаты точки пересечения.
14 Через точку
пересечения плоскости
с осью Ох провести прямую так, чтобы она
лежала в данной плоскости и была
параллельна плоскости Оуz.
15 Составить
уравнение плоскости, проходящей через
точку
и прямую
.
Составить уравнения прямой, проходящей через точку А (0; 0; 1) и пересекающей каждую из прямых:
и
.Показать, что прямая
параллельна плоскости
,
а прямая
лежит в этой плоскости.Написать уравнения прямой, проходящей через точку М (2; -3; 3) и перпендикулярной к плоскости
.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
и перпендикулярной к прямой
.Написать уравнения прямой, проходящей через точку А 92; 3; -1), пересекающей прямую
и перпендикулярной к ней.Найти точку, симметричную точке М (1; 5; 2) относительно плоскости
.При каком значении прямая
параллельна плоскости
?При каком значении
прямая
параллельна плоскости
?При каких значениях А и D прямая
лежит в плоскости
?При каких значениях А и В плоскость
перпендикулярна
к прямой
?Найти проекцию точки Р (2; -1; 3) на прямую
Найти точку Q, симметричную точке Р (4; 1; 6) относительно прямой
.
Метрические задачи на прямую и плоскость
Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат, параллельной прямой
и перпендикулярной к плоскости
.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (-1; 1; 3), параллельной прямой
и перпендикулярной к плоскости
.Составить уравнения проекции прямой на плоскость
;
П:
.
Найти расстояние от точки Р (7; 9; 7) до прямой
.Найти расстояние между скрещивающимися прямыми:
и
.Даны две прямые:
и
.
а) Доказать, что они скрещиваются.
б) Написать уравнения плоскостей, проходящих через каждую из них параллельно второй прямой.
в) Найти расстояние между скрещивающимися прямыми и между плоскостями; убедиться в том, что эти расстояния равны.
Найти угол между прямой
и
плоскостью
.Найти угол между следующими прямыми
и
.
Определить угол
между прямой
и плоскостью П:
.
Вычислить расстояние от точки Р (1; -1; -2) до прямой
.Убедившись, что прямые
и
параллельны, вычислить расстояние
между ними.Вычислить кратчайшее расстояние между двумя прямыми в каждом из следующих случаев:
а)
;
;
б)
;
;
в)
;
.