5. Розв’язання прямої та оберненої геодезичних задач

Пряма геодезична задача

Якщо відомі координати вихідної точки А(Х_А, Y_A), дирекційний кут лінії АВ (_АВ) та довжина лінії d_АВ (рис. 3.7), то можна обчислити координати кінцевої точки В за формулами:

. (3.15)

Прирости координат х та Dу згідно рис. 3.7 визначаються за формулами:

. (3.16)

Рис. 3.7. Геометрична схема прямої та оберненої геодезичних задач

Приклад. Відомо Х_А = 6066275 м; Y_А = 43112398 м; a_АВ = 48^о15; d_АВ = 308,65 м. Визначити координати точки В. За формулами 3.15; 3.16 отримаємо:

Х_В = Х_А + d_АВcosa_АВ = 6066275 + 308,65  cos 48^o15 = 6066534,9 м;

Y_В = Y_А + d_Аsina_АВ = 4312396 + 308,65  sin 48^o15 = 4312626,3 м.

Обернена геодезична задача

При проектуванні та розмічуванні інженерних споруд на місцевості виникає задача визначення довжини лінії d_АВ та дирекційного кута a_АВ за відомими координатами кінцевих точок (Х_А, Y_А; Х_В, Y_В).

Шукані величини визначаються із прямокутного трикутника АВС (рис. 3.7) за формулами:

а) румб лінії

, (3.19)

або . (3.20)

Величина дирекційного кута визначиться за формулами згідно рис. 3.8.

Рис. 3.8. Зв’язок між румбами і дирекційними кутами

б) довжина лінії

; . (3.22)

Окрім того, із рис. 3.7 за теоремою Піфагора визначимо:

. (3.23)

6. Визначення висот точок і стрімкості схилу

Коли шукана точка А лежить на горизонталі, то її позначка Н_а дорівнює висоті горизонталі. Висоти непідписаних горизонталей визначають від підписаної горизонталі по числу перерізів горизонталей п. Висоту перерізу горизонталей h підписують під лінійним масштабом біля південної сторони рамки карти.

Рис. 3.9. Визначення позначки точки, яка лежить на горизонталі

Якщо на карті або плані не вказано h, то спочатку визначимо її величину:

,

де п – кількість перерізів (закладень) між підписаними горизонталями; Н_max, H_min – висоти підписаних горизонталей, між якими знаходиться точка А (рис.3.9).

Потім визначають напрям схилу місцевості:

• напрям бергштриха та низ підпису горизонталей направлені в бік пониження рельєфу;

• схили місцевості біля водних об’єктів направлені до берегів річок, озер і т.д.;

• за формою відкриті сторони вимоїн направлені в бік пониження;

• за підписаними позначками характерних точок рельєфу;

• місцевість нахилена в сторону водозбірних ліній і від вододільних ліній рельєфу.

Позначка шуканої точки А обчислиться:

• від нижньої підписаної горизонталі

Н_А = Н_min + h  n₁ = 150 + 1× 3 = 153 м;

• від верхньої підписаної горизонталі

Н_А = Н_mах - h  n₂ = 155 - 1× 2 = 153 м,

де п₁, п₂ – кількість закладень між підписаною і шуканою висотою горизонталі.

Коли шукана точка знаходиться між горизонталями (рис. 3.10), то її позначку визначають в такій послідовності:

1. Визначають висоти двох суміжних горизонталей (Н_А, Н_В);

2. По перпендикуляру до них через точку С проводять лінію АВ і вимірюють довжину закладання d (в мм).

3. Вимірюють відстані l та p.

4. Позначку точки С обчислюють за формулою:

, (3.24)

або . (3.25)

де h – висота перерізу рельєфу між суміжними горизонталями.

Рис. 3.10. Визначення позначки точки, яка не лежить на горизонталі

Стрімкість або крутизну схилу характеризують величиною кута нахилу місцевості  (рис. 3.10). Його визначають за формулою

, (3.26)

де h – висота перерізу рельєфу;

d – закладення між суміжними горизонталями на карті (плані).

При розв’язанні інженерних задач прийнято крутизну схилу визначати через ухил і за формулою

. (3.27)

Ухил і виражають у відсотках (%) або промілях-тисячних частках одиниці (‰).