Глава 5. Сигналы и их спектры

где с> 0 . Взаимосвязь оригинала и изображения обозначают посред-

ством знака соответствия о следующим образом: s(t)o S(p).

В радиоэлектронике преобразования Лапласа (4) и (5) часто ис-

пользуются для определения прямого и обратного преобразований

Фурье, так какдля абсолютно интегрируемых сигналов

Таблица 1

s(t), при t > 0

S(P)

1

1

i(<), п р и / > 0

te

al

S(P)

1

(p-aj

1

5(/)

1(0

e

a/

/>

1

p-a

eal -e1"

a-b

aeal -bebl

v/7 ~ "Л/' ~ /

p

(p-ajjj-b)

a-b

1

beal-aeh>

ab(a-b)

j

a

1

Xp-a)

X^X>:*)

1

Для большинства сигналов, встречающихся при теоретических ис-

следованиях, изображения рассчитаны и приводятся в справочной ли-

тературе. Для нескольких наиболее часто встречающихся сигналов

изображения приведены в табл. 1. Отметим, что все сигналы s(t), при-

веденные в таблице, тождественно равны нулю при t < 0.

Преобразование Лапласа имеет следующие свойства:

1)

2)

a

, где a > 0;

s(t - т) о е plS(p), где т > 0;

3)

4)

5)

где о 0 . Взаимосвязь оригинала и изображения обозначают посред-

ством знака соответствия <г> следующим образом: *(<)<=> S(p).

В радиоэлектронике преобразования Лапласа (4) и (5) часто ис-

пользуются для определения прямого и обратного преобразований

Фурье, так какдля абсолютно интегрируемых сигналов

Таблица 1

s(t),np»t>0

«И

1(0

е*

S(P]

1

1

Р

1

р-а

.$(*), при / > 0

te

at

at

S(P]

1

(p-af

e -e

a-b

ht

1

P

aeal -be1"

a-b

1

bea'-aeht

ab(a - b)

1 /\

>(,-,)

1

р(р-а)

1

p(p'-a%p-b)

Для большинства сигналов, встречающихся при теоретических ис-

следованиях, изображения рассчитаны и приводятся в справочной ли-

тературе. Для нескольких наиболее часто встречающихся сигналов

изображения приведены в табл. 1. Отметим, что все сигналы s(t), при-

веденные в таблице, тождественно равны нулю при / < 0.

Преобразование Лапласа имеет следующие свойства:

а

2)

31

J)

s(t - т) о e~inS(p}, где т > 0;

К

e~"'s(iЛ\1

- •—- <

Л

4)

5)

Первое, второе и третье свойства преобразования Лапласа легко

Первое слагаемое в правой части полученной формулы при t —> <х>

Доказательство пятого свойства проводим следующим образом.

Обозначим F(t)= ША. Так как

dF

о

**

^ = s(t), то -~У<3>$(р). Ис-

«

пользуя четвертое свойство, для производной получим второе соот-

ветствие:

L

— -- О pF(p)-F(o). Так как интеграл F(o)=0, то

dt

S(p) = pF(p). Отсюда окончательно получим р(р)=

- -.

Р

Для абсолютно интегрируемых сигналов при использовании под-

становки р = jto первым трем свойствам преобразования Лапласа в

частотной области соответствуют три теоремы о спектрах:

1) сигналу s(at)c измененным масштабом времени соответствует

спектральная плотность — S\ j —

а {, а

.

с растяжением спектра при

а > 1 или сжатием спектра при а < 1 ;

2) сигналу s(t - т), задержанному на время т, соответствует спек-

тральная плотность S(j(u) e~jw* с дополнительным фазовым

сдвигом, равным - сот;

3) при умножении сигнала s(t) на комплексный гармонический

сигнал ejn< результирующему сигналу ejn> s(t) соответствует

смещенная по оси частот спектральная плотность S[j(<o - П)] .

Эти теоремы позволяют определить, как влияют некоторые дейст-

вия над сигналами во временной области на представление сигналов в

частотной области.