Глава 4. Четырехполюсники, фильтры и длинные линии 4. Четырехполюсники, фильтры и длинные линии

4.1. Четырехполюсники

Четырехполюсник — это устройство, имеющее четыре контакта:

Zc

Рис. 1

Изображение четырехполюсника с подключенными источником

сигнала и нагрузкой приведено на рис. 1. На рисунке показаны ком-

плексные амплитуды входных и выходных гармонических напряже-

ний и токов. Для простоты точки в обозначениях комплексных вели-

чин не ставятся.

Четырехполюсник, содержащий линейные элементы, называется

линейным. Если внутри четырехполюсника есть нелинейные или па-

раметрические элементы, то четырехполюсник будет нелинейным или

параметрическим. Различают также пассивные и активные четырех-

полюсники. Активные четырехполюсники содержат источники, пас-

сивные источников не содержат. Активные четырехполюсники в свою

очередь делятся на автономные и неавтономные. Автономные четы-

рехполюсники содержат независимые источники, а неавтономные

содержат только зависимые источники.

При анализе удобно рассматривать четырехполюсник в виде "чер-

ного ящика", т. е. устройства с некоторой неизвестной для нас внут-

ренней структурой. Внутренняя структура будет проявляться через

взаимосвязь входных и выходных токов и напряжений.

Рассмотрим уравнения линейных пассивных или активных неавто-

Рис. 2

ка будут функциями этих токов:

Так как четырехполюсник линейный, то в силу принципа суперпо-

зиции, функции в написанных выше уравнениях будут линейными:

U =Z / +Z / ;

C/ 2 =Z 21 /,+Z 22 / 2 .

(1)

Здесь коэффициенты пропорциональности Z,,,Z]2,Z2I,Z22 имеют

размерность сопротивлений. Соотношения (1) называют уравнениями

четырехполюсника с Z-параметрами. Сопротивления Zt]•, / = 1, 2;

7= 1, 2; характеризуют внутреннюю структуру четырехполюсника. В

общем случае при наличии в четырехполюснике реактивных элемен-

тов эти сопротивления являются комплексными.

Полученную систему уравнений можно представить в матричной

U=ZI,

где 1 = (/,,/2) — матрица-столбец заданных токов, U = (f/|,f/2)r—

матрица-столбец напряжений на зажимах четырехполюсника,

г»

7А

— матрица сопротивлений четырехполюсника.

меняя на рис. 2 источники тока источниками напряжения и используя

принцип суперпозиции, получим новые уравнения, связывающие токи

и напряжения четырехполюсника:

/,=ад+ад;

/ 2 =Г 2 | [/,+Г 2 2 г/ 2 .

Коэффициенты Yy, i = 1, 2; j = 1, 2; в (2) имеют размерность про-

водимостей и называются F-параметрами четырехполюсника, а соот-

ношения (2) — уравнениями четырехполюсника с Y- параметрами.

Аналогично при заданных /, и U2 получаем уравнения с Н-па-

раметрами:

/2 =Я 2 | /, + H22U2,

где коэффициент пропорциональности Я, , имеет размерность сопро-

тивления, Я22 — проводимости, Н12,Н2] — безразмерные коэффи-

циенты. При заданных £/, и /2 получаем уравнения с G-параметрами.

Использование в качестве независимых переменных /, и Г/, приводит

к уравнениям с /^-параметрами.

Формулы (1), (2), (3) получены для указанных на рис. 1 положи-

ния с ^-параметрами:

Е/,=4,1/ 2 +4 2 / 2 ;

/,=Л 2 1 £/ 2 + Л 22 / 2 .

Если в уравнениях (4) вместо тока /2 использовать ток 12 =-Г2, то

параметры А\2 и А22 изменят знаки на противоположные.

Если введенные выше параметры описывают один и тот же четы-

рехполюсник, то они будут взаимосвязаны. Найдем, например, взаи-

мосвязь между Z- и F-параметрами. Пусть имеется четырехполюсник,

описанный уравнениями (2) с F-параметрами. Полагая в этих уравне-

ниях заданными токи /, и 12 , а неизвестными — напряжения и ис-

пользуя правила Крамера, найдем

у

ГГ _ Г

7

22

,

г

_у

М2 .

U]

~I] A

+/2

A '