Вплив параметрів кола на форму кривої струму

Якщо до затискачів кола з активним опором прикладено несинусоїдну напругу, то форма кривої струму не відрізня­ється від форми кривої несинусоїдної напруги, оскільки ве­личина активного опору для струмів різних гармонік при­близно однакова. Внаслідок цього співвідношення між ам­плітудами гармонік струму залишається таким, як і відно­шення між амплітудами гармонік несинусоїдної напруги.

Якщо несинусоїдна напруга підключена на затискачі ко­ла з індуктивним або ємнісним опорами, то форма кривої струму змінюється і може значно відрізнятися від форми кривої напруги, утворюючої струм.

Розглянемо вплив індуктивності на форму кривої несинусоїдного струму. Нехай до затискачів кола з індуктивністю прикладено несинусоїдну напругу, яка є сумою першої і третьої гармонік (рис.12,14,а). Індуктивний опір котушки першої гармоніки

X_L1 =ω₁∙L , а третьої X_L3 =3ω₁∙L. Отже, якщо, наприклад, відношення амплітуд першої і третьої гармонік є 1 : 3 то відношення цих гармонік у рівнянні струму буде 1 : 9, оскільки, в наслідок більшого опору X_L3 , амплітуда струму третьої гармоніки різко зменшується, крива струму буде розгалуженою (рис. 12.14. б).

Слід мати на увазі також, що крива несинусоїдного струму, як і струми її гармонік, відстають за фазою від кривої напруги.

Отже, індуктивність придушує вищі гармоніки в розкладі несинусоїдного струму та наближує форму його кривої до синусоїди.

Якщо таку несинусоїдну напругу прикласти до затискачів кола з ємністю, то конденсатор буде чинити першій гармоніці ємнісний опір, у три рази більший ніж струму третьої гармоніки. Отже, наявність конденсатора збільшує амплітуду струму третьої гармоніки відносно амплітуди струму першої гармоніки. Тому крива струму стає більш несинусоїдної, ніж крива напруги. Крім того слід мати на увазі, що крива несинусоїдного струму, як і струми гармонік, випереджає за фазою криву напруги та його гармонік.

Таким чином, ємність виключає з розкладу несинусоїдного струму сталу складову, оскільки опір X_C=1/ωC нескінченно великий для постійного струму, тобто ω=0, а також придушує першу гармоніку, одночасно збільшуючи вищі гармоніки. Внаслідок цього, крива струму стає більш несинусоїдної порівняно з кривою напруги.

Розрахунок лінійних кіл несинусоїдногоструму

Розв’язування задач у колах несинусоїдного струму ґрунтується на принципі незалежності дій кожної гармоніки несинусоїдної напруги на дане коло. При цьому використовується метод накладання та складання рівняння несинусоїдного струму.

Дано коло з послідовно включеними R,L,С та напруга на затискачах кола

u=U₀+U_m1 sin ωt+ U_m2 sin 2ωt+ U_m3 sin 3ωt

Знайти діюче значення напруги і струму, активну та повну потужність, скласти рівняння миттєвого значення струму і.

Розрахунок

1. Індуктивний опір кожної гармоніки струму:

X_L0 = ωL=0, X_L1 = ωL, X_L2 = 2ωL, X_L3 = 3ωL

2. Ємнісний опір кожної гармоніки

Якщо в колі є ємність, то в рівнянні струму не буде сталої складової I₀, оскільки через конденсатор постійний струм не проходить,

Х_С1= , Х_С2= , Х_С3=

3. Повний опір кола кожної гармоніки струму:

Z₀= ∞, , ,

4. Кути зсуву за фазою між напругами та струмами гармонік

Ці кути можна визначити за arcos або arcsin.

5. Стала складова струму

= 0

6. Амплітуда струмів гармонік:

7. Діюче значення напруги:

8. Діюче значення струму

9. Активна потужність у колі несинусоїдного струму дорівнює сумі активних потужностей кожної гармоніки:

Р = Р₀+Р₁+Р₂+Р₃+…+Р_k

або Р = U₀I₀+ U₁I ₁ cos φ₁+ U₂I₂ cos φ₂+ U₃I₃ cos φ₃+…+ U_kI_k cos φ _k

10. Повна потужність кола S = U I

11. Коефіцієнт потужності кола

12. Коефіцієнти потужності гармонік

,

13. Рівняння несинусоїдного струму

i=I₀+I_m1 sin (ωt φ₁) + I_m2 sin (2ωt φ₂) + I_m3 sin (3ωt φ₃)

Приклад 13

До затискачів кола з послідовним з’єднанням котушки та конденсатора прикладено несинусоїдну напругу

u=20+60sin(ωt+45⁰)+50sin(2ωt+60⁰)+ 30sin(3ωt+100⁰)

Коло має параметри: R=100Oм, L=0.637 Гн, С=31,8 мкФ.

Частота першої гармоніки f=50Гц. Знайти діючі значення напруги та струму кола, а також активну потужність. Записати ряд Фур’є для несинусоїдного струму.

Розрахунок

Кутова частота першої гармоніки:

ω=2πf₁=2∙3.14∙50=314 _C^-1

Індуктивний опір котушки струмам першої, другої та третьої гармоніки:

X_L1=ω₁L=ωL= 314∙0.627=200 Oм

X_L2=2ω₁L=2∙314∙0.637=2∙200=400 Oм

X_L3=3ω₁L=3∙314∙0.637=3∙200=600 Oм

Ємнісний опір струмам першої, другої та третьої гармонік:

X_C1 =1/ωC=10⁶/314∙31.8=100 Oм

X_C2= X_C1/2=50 Oм

X_C3= X_C1/3=33.3 Oм

Повний опір кола струмам першої, другої та третьої гармонік:

Амплітуда струмів гармонік:

Кути зсуву за фазою кожної гармоніки:

Оскільки в колі є послідовно включений конденсатор, то в розкладі несинусоїдного струму не буде сталої складової,

i=I_m1 sin (ωt+45⁰-φ₁)+ I_m2 sin (2ωt+60⁰-φ₂)+ I_m3 sin (3ωt+90⁰-φ₃)

Звідси бачимо, що струми гармонік відстають від гармонік напруги на кут φ<90⁰ , тобто X_L1, X_L2, X_L3 більше ніж відповідні X_C1, X_C2, X_C3, що виражає активно-індуктивний характер кола для кожної гармоніки. Остаточно ряд має вигляд

i=0.424 sin 314t+ 0.137 sin (628t-34⁰)+ 0.0521 sin (942t+10⁰)

Діюче значення струмів гармонік:

Діюче значення несинусоїдного струму кола:

Діюче значення гармонік напруги:

Діюче значення несинусоїдної напруги:

Потужність несинусоїдного струму:

Р= U₁I₁ cos φ₁+ U₂I₂ cos φ₂+ U₃I₃cosφ₃ = =42.6∙0.302∙0.71+35.4∙0.0945∙0.275+21.3∙0.037∙0.178=9.13+0.92+0.14=10.19 Вт

Потужність можна знайти також за формулою P = I²R

Приклад 14

Скласти рівняння струму в колі з послідовним включенням активного та індуктивного опорів. На затискачах кола прикладено несинусоїдну напругу

u=20+60 sin (ωt+45⁰)+ 50 sin (ωt+60⁰)+ 30 sin (ωt+180⁰)

Активний опір у колі R=4 Oм, а індуктивний опір для струму першої гармоніки X_L1=ωL₁=3 Oм.

Розрахунок

Стала складова струму кола:

I₀=U₀/R=20/4=5A

Повний опір кола для першої гармоніки:

Амплітуда струму першої гармоніки

Кут зсуву за фазою між струмом і напругою першої

гармоніки:

Індуктивний опір кола другої гармоніки:

X_L2 =2 X_L1=2∙3=6 Oм

Повний опір кола другої гармоніки:

Амплітуда струму другої гармоніки

Кут зсуву за фазою між струмом і напругою другої гармоніки:

Індуктивний опір третьої гармоніки

X_L3 =3 X_L1=3∙3=9 Oм

Повний опір кола третьої гармоніки

Z₃=

Амплітуда струму третьої гармоніки

Кут зсуву за фазою між струмом і напругою третьої гармоніки:

Рівняння струму кола:

i=I₀+I_m1 sin (ωt+ψ₁-φ₁)+ I_m2 sin (2ωt+ψ₂-φ₂)+ I_m3 sin (3ωt+ψ₃-φ₃)= 5+12sin(ωt+45⁰-36⁰50^’)+ +6.95sin(2ωt+60⁰-56⁰18^’)+ 3.05sin(3ωt+180⁰)-67⁰53^’)

Остаточно матимемо:

i=5+12sin(ωt+8⁰10^’)+6.95sin(2ωt+116⁰18^’)+ 3.05sin(3ωt+112⁰7^’)

Трифазні системи змінного струму