Резонансна частота, резонансний опiр та добротнiсть контуру

Резонансна частота. Частота струму генератора, при якiй виникає резонанс струмiв, визначиться з умови рiвностi реактивних Провiдностей B_L = В_C:

Виконаємо деякi перетворення та отримаємо

У знаменнику підкореневого виразу виносимо за дужки LС. Тоді

або

Замінимо L/С на Z²_хв:

Отже, резонанс струмiв здiйснюється тодi, коти частота струму генератора дорiвнює частотi вiльних коливань контуру, тобто реактивнi опори рiвнi мiж собою

як це було при резонансi напруг.

Резонансний опiр. Дуже часто в електроннiй апаратурi коливальнi контури мають мiнiмальний активний опiр R. Знайдемо загальний опiр контуру при резонансi струмiв Z_рез.

Згiдно iз законом Ома, Z_рез = U/І. У схемi (див. рис. 8.7) активний опiр у вiтцi з ємнiстю можна вважати таким, що дорiвнює нуло, R₂ = 0, тобто конденсатори контурiв, в основному, мають малий опiр. Отже, загальний струм кола може набирати вигляду

І = UG₁,

де G₁ – активна провідність віток з індуктивністю

де ω₀ — кутова частота струму генератора при резонаiтсi струмiв.

Вважаючи, що в контурах опiр R₁ малий, то дже малий, і ним можна знехтувати ≈0. Тоді формула Z_рез виразиться так:

Пiдставимо сюди значения резонансної кутової частоти:

Дiстанемо

Звiдси резонансний опiр контуру обернено пропорційний активному опору. Отже, при малому активному опорi контуру його опiр струму генератора при резонансi струмiв максимальний і загальний струм генератора мiнiмальний, тобто навантаження на генератор дуже мале. Це пояснюється тим, що чим менше активний опiр контуру, тим менше втрата енергiї, накопиченої в електричному та магнiтному полях контуру.

Отже, напруга на затискачах контуру порiвняно з напругою генератора трохи зменшиться i внаслiдок протилежного напряму напрузi генератора чинитиме йому бiльшу протидiю, тобто Z_рез контуру буде великим, і тим бiльше, чим менше активний опiр контуру.

Помножимо чисельник і знаменник правої частини на R. Матимемо

Замінимо L/C на :

Оскільки Z_хв/R = Q, то

Z_рез = Q²R.

Звідси, чим більща добротність контуру Q, тим більщий резонансний опір і, отже, менше величина загального струму І, менше навантаження на живильний генератор, а тому бiльше виграш у струмi.

Суть добротностi контуру при резонансi струмiв. Виразимо Z_рез, І, I₁, І₂ через хвильовий опiр. Вiдомо, що Z_хв дорiвнює величинi опорiв Х_L. i Х_С при частотi вiльних коливань коливального контуру

Знайдемо перевагу у струмi, тобто, у скiльки разiв струм у паралельних вiтках при резонансi струмiв бiльше вiд загального струму генератора:

Якщо знайти І₂/І₀, то дiстанемо той самий вираз, тобто І₂/І₀ = Q.

Отже, добротнiсть контуру Q при резонансi струмiв показує, у скiльки разiв струм у контурi бiльше, нiж струм у генераторi.

Резонанснi кривi. Розглянуту вище схему (див. рис. 8.7) можна зобразитй у виглядi еквiвалентної схеми, де котушку i конденсатор можна взяти iдеальними, а паралельно їм пiдключили активний опiр R (рис. 53).

Для цiєї схеми iндуктивна й ємнiсна провiдностi для iдеальних iндуктивностi й ємностi визначаються формулами

і

Цi провiдностi зображено на графiку провiдностей у виглядi прямої лiнiї i гiперболи (рис. 54).

Рис. 54

На осi абсцис ω визначається резонансна частота ω₀, при якiй В_L = В_С. Загальна реактивна провiднiсть В = В_L – В_С, тому для рiзних ω можна найти точки кривої В з ординатами В_L – В_С.

При ω < ω₀ загальна провiднiсть В додатня, тобто коло має активно-iндуктивний характер, а при ω > ω₀ провiднiсть В вiд’ємна, тобто коло має активно-ємнiсний характер. При ω = ω₀ маємо В_L = В_С, В = 0. Отже, Y = G i коло має чисто активний характер. Загальний струм i напруга на затискачах кола збiгаються за фазою.

Оскiльки струм прямо пропорцiйний вiдповiдним провiдностям, то графiк залежності струмiв вiд кутової частоти будуть такими самими, що й частотнi характеристики провiдностей.

Ця залежнiсть для реального контуру без урахування знака, який виражає характер кола, але з урахуванням активної провiдностi контуру, тобто для реального контуру, зображено на рис. 55.

Рис. 55

Як бачимо, при резонанснiй частотi загальний струм джерела живлення мiнiмальний, а реактивнi струми І_L і І_С рiвнi мiж собою i бiльшi за величиною загального струму, який проходить у нерозгалуженiй частинi кола.

При резонанснiй частотi загальний струм і напруга на затискачах кола збiгаються за фазою, а кут φ = 0. При збiльшеннi частоти струму генератора, ω > ω₀, збiльшується струм в ємнiснiй вiтцi і зменшується струм в iндуктивнiй вiтцi контуру. Отже, збiльшуєтья реактивий струм І_р = І_С – І_L. Тоді кут зсуву за фазою φ збiльшується (рис. 56), коло має ємнiсний характер.

Рис. 56

При зменшеннi кутової частоти струму генератора, ω < ω₀, збiльшується загальний реактивний струм I_р = І_L – І_С, кут φ при цьому збільшується. Коло має iндуктивний характер.

При резонанснiй частотi загальна провiднiсть мiнiмальна, і загальний опiр Z = I/Y – максимальний.

При частотах струму генератора, бiльших або менших ω₀ загальна провiднiсть Y ≈ В збiльшується (див. рис. 55). Отже, загальний опiр Z залежно від частоти струму генератора эменшується. Графiк змiни Z залежно вiд частоти струм генератора зображено на рис. 55.

Потужнiсть та енергетичнi процеси. Активна потужнiсть кола визначається формулою

P=I²R_ек,

де R_ек — еквiвалентний активний опiр контуру. Враховуючи, що при резонансi струмiв величина загального струму мiнiмальна i в бiльшостi випадкiв контур має малий активний опiр R, то зрозуміло, що Р мала за величиною, тобто вiд генератора надходить у контур мiнiмальна енергiя, яка перетворюється у iншi види енергiї необоротно.

Енергетичнi процеси при резонансi струмiв мають ряд особливостей порiвняно з резонансом напруги. При малому активному опорi контуру, , у контурi виникає обмiн енергiєю мiж електричним полем конденсатора і магнiтним полем котушки iндуктивяостi, а частина енергiї витрачається на активному опорi контуру.

При цьому генератор поповнює цi витрати, струм генератора проходить через контур. Проте можуть бути випадки, коли обмiн енергiею мiж магнитним i електричним полями вiдсутнiй. Розглянемо випадок, коли . Це означає, що в паралельних вiтках величини активних опорiв дорiвнюють реактивним опорам вiток. Отже, кути зсуву за фазою φ₁ і φ₂ мiж напругою i струмами у вiтках дорiвнюють 45°. Для аналiзу такого режиму кола побудовано векторну дiаграму (рис. 9.25). Згідно з дiаграмою, напруга на обкладках конденсатора U_рС i струм у котушцi iндуктивностi збiгаються за фазою, тобто одночасно досягають своїх амплутiдних та нульових значень.

Рис. 57

Отже, коли конденсатор заряджаеться, U_рС зростає до максимуму i зростає енергiя елекгричного поля конденсатора.

Одночасно зростає сила струму у вiтках з iндуктивнiстю і, отже, зростає енергiя магнiтного поля котушки iндуктивностi

Це означає, що в даний промiжок часу вiд генератора енергiя одночасно надходить і в магнiтне, i в електричне поля. Крiм того, частина енергiї витрачається на активних опорах R₁ i R₂ вiток. У наступний промiжок часу конденсатор розряджається, u_рС зменшуєтъся до нуля i в той самий час сила струму у вiтцi з iндуктивцiстю також зменшується до нуля, тобто енергiя магнiтного й електричного полiв зменшуеться до нуля. З’ясовується, що обмiн енергiею мiж елетричним і магнiтним полями вiдсутний. Повернения енергiї до генератора немає, оскiльки в колі режим резонансу струмiв.

Згiдно з векторною дiаграмою (див. рис. 9.12), загальний струм генератора i напруга на його затискачах збiгаються за фазою, тобто коло має чисто активний характер.

Отже, енергiя, яка накопичується в електричному та магнiтному полях за час розряду конденсатора безповоротно витрачається на активних опорах R₁ i R₂ вiток, перетворюючись у теплову енергiю. Як бачимо, на дiаграмi (див. рис. 9.25) величина загального струму І генератора бiльша, ніж струм у паралельних вiтках, тобто виграшу в струмi немає. Це пояснюеться великими активними опорами R₁ i R₂, що обумовлює погану добротнiсть контуру Q великими втратами енергi в контурi.

Способами досягнення резонансу струмiв є:

1) змiна iндуктивностi L або ємностi С, яка змiнить частоту власних коливань контуру для зрiвнювання з частотою генератора;

2) змiною частоти генератора для зрiвнювання з частотою власних коливань контура;

3) змiна активного опору контуру для зрiвнювання В_L i В_C. Це застосовується рiдко.