Символiчний метод розрахунку кiл змінного струму з паралельним та мішаним з’єднанням опорiв

У колах постiйного струму ЕРС, напруга і струм визначаються одним числом, яке виражає їх величину. У колах змiнного струму, внаслiдок зсуву за фазою ЕРС, струм, напруга визначаються двома числами, зокрема, амплiтудою та початковою фазою. Тому розрахунок кiл змiнного струму ускладнюється необхiднiстю розмiщення векторних дiаграм, якi зображують синусоїднi величини.

У попереднiх параграфах було розглянуто тригонометричну форму розрахунку кiл синусоїдного струму. Проте цю форму практично можна застосовувати для простiших кiл, головним чином, для послiдовних кiл.

Для паралельних кiл метод провiдностей та метод активних i реактивних струмiв досить громiздкий, особливо для кiл з великою кiлькiстю вiток.

Одним iз спрощених методiв розрахунку є символiчний метод, запропонований академiком В. Ф. М и т к е в и ч е м (1872—1951 рр.). Цей метод дає змогу до розрахунку кiл синусоїдного струму застосовувати формули i правила розрхунку кiл постiйного струму. Розглянемо розрахунок паралельних кiл символiчним методом.

Нехай маємо паралельне коло з рiзнохарактерними опорами (рис. 8.), для якого задано X_L1, R₁, X_C2, R₂, X_L3, X_C3, R₃, i₃ = I_m3 sin (ωt + ψ₃).

Треба знайти I₁, I₂, I₃, I, S, P, Q.

Розв'язання

1.Загальний комплексний опiр третьої ділянки:

.

2.Кут φ₃ знайдемо з виразу

3.Загальний комплексний опiр другої дiлянки:

4.Загальний комплексний опiр першої дiлянки:

5.Комплексний вираз дiючого значення струму:

.

6.Комплексна напруга на затискачах кола:

7.Комплексний струм першої дiлянки:

І₁ = U/Z₁.

8.Комплексний струм другої ділянки:

І₂ = U/Z₂.

9.Комплексна повна потужнiсть кола:

Приклад 11

Коло змінного струну складається а розгалужено з‘єднаних двох котушок iндуктивностi та конденсатора з опорами X_L1 = 7,6 Ом, R₁ = 18,5 Ом, X_L2 = 6,6 Ом, R₂ = 8,8 Ом, X_C3 = 21,5 Ом, R₃ = 38,4 Ом. Напруга на затискачах кола U = 220 В. Знайти: струми I₁, I₂, I₃, I; потужностi S, P, Q; кути эсуву за фазою φ₁, φ₂, φ₃, φ. Побудувати векторну дiаграму кола.

Розв’язання

Комплекснi опори вiток:

Оскільки

Ом,

то

Аналогiчно

Ом,

Оскiльки в комплексi опору модулем є величина опору, а аргументом — кут зсуву за фазою, то φ₁ = 22° 20’. φ₂ = 36° 50’. φ₃ =- 29° 10’.

Знайдемо струми вiток і загальний струм. Якщо напругу задано дiйсним числом, то вважають, що початкова фаза напруги ψ = 0. Тодi

.

Алгебраїчна форма комплексу визначаеться через тригонометричну форму. Так,

А,

,

.

Загальний струм кола:

І = І₁ + І₂ + І₃ = 10,18 – j4,18 + 16 –j12 + 4,36 + j2,44 = 30,54 – j13,74 = 33,5е^{-j24° 12’}_.

Потужнiсть кола:

S = 220 ∙ 33,5e^{24° 12’} = 7370e^{24° 12’} = 6722 – j3021 BA.

Дiйсною частиною у комплексi повної потужностi є активна потужнiсть, а уявною — реактивна потужнiсть. Отже, Р = 6722 Вт, Q = 3021 вар.

В і д п о в і д ь. І₁ = 11 А, І₂ = 20 А, І₃ = 5 А, І = 33,5 А

Побудуємо векторну діаграму.

Вибираємо масштаби для напруги й струму: М_U = 40 В/см; М_І = 5 А/см. визначаємо довжини векторів:

U = 220/40 = 5,5 см; І₁ = 11/5 = 2,2 см; І₂ = 20/5 = 4 см; І = 5/5 = 1 см.

Будуємо вектор напруги U на комплекснiй площинi в напрямі до датної частини дiйсної осi (рис. 9).

Будуємо вектори струмiв І₁, І₂, І₃, І пiд кутами φ₁, φ₂, φ₃, до вектора напрути за правилом многокутника. Будуємо вектор, початком якого є початок вектора І₁, а кiнцем — кiнець вектора I₃. дiстаємо сумарний вектор І. Вимiрюємо довжину цього вектора та величину кута φ. Порiвнюємо їх з обчисленими величинами. Вони збiгаються, тобто задачу розв’язано правильно.