Равновесие пространственной системы сходящихся сил

Для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этой системы сил равнялась нулю, т. е. .

Это равенство выражает условие замкнутости силового многоугольника данной системы сил, т.е. условие равновесия пространственной системы сходящихся сил в геометрической форме.

Вместо векторного равенства можно составить три скалярных: , , , которые выражают условия равновесия пространственной системы сходящихся сил в аналитической форме, и их называют уравнениями равновесия пространственной системы сходящихся сил. Система уравнений позволяет определить только три неизвестных. Если число неизвестных больше трех, то пространственная система сходящихся сил является статически неопределимой.

Порядок решения задач на равновесие пространственной системы сходящихся сил аналитическим методом (геометрический метод для пространственных систем применяется крайне редко) остается таким же, как и в случае плоской системы сходящихся сил.

Момент силы относительно оси

Момент силы относительно оси z равен моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси z, относительно точки О (точка пересечения оси z плоскостью τ).

( ),

,

где P_τ – проекция силы на плоскость τ, перпендикулярную оси z; h – длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия проекции P_τ.

Отметим, что проекция силы на ось – скалярная величина, проекция силы на плоскость – вектор.

Момент считается положительным, если, глядя с конца положительного направления оси, видим вращение плоскости  под действием составляющей против часовой стрелки. В противном случае момент считается отрицательным.

Момент силы относительно оси равен нулю, если сила пересекает ось (h = 0) или параллельна оси (P_τ = 0).

Равновесие произвольной пространственной системы сил

Теорема. Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент равнялись нулю, т.е. = 0, = 0.

Эти два векторных равенства можно заменить шестью скалярными:

, , ,

, , .

Приведенные условия называют уравнениями равновесия произвольной пространственной системы сил: для равновесия тела в пространстве необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на координатные оси и суммы моментов всех сил относительно трех координатных осей равнялись нулю.

Частные случаи равновесия

1. Для пространственной системы сходящихся сил получим уже известную систему:

, , .

2. Для пространственной системы сил, параллельных

оси х: , , ;

оси у: , , ;

оси z: , , .

В пространстве всякое свободное твердое тело имеет шесть независимых движений – шесть степеней свободы: три линейных перемещения вдоль осей х, у, z и три угловых перемещения вокруг этих же осей. Каждое уравнение равновесия эквивалентно «лишению» тела одной степени свободы, шесть уравнений равновесия «лишают» свободное твердое тело всех шести степеней свободы.

Сила тяжести и центр тяжести однородных тел

В физике имеется два понятия:

1) центр масс (центр инерции) – точка, характеризующая распределение масс в механической системе;

2) центр тяжести – точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести, действующих на все частицы этого тела.

Положение центра тяжести твёрдого тела совпадает с положением его центра масс.

Сила, с которой каждое тело притягивается к Земле, называется силой тяжести. Она распределена по всему объёму тела, т.е. приложена к каждой частице тела и направлена вертикально вниз к центру Земли. Элементарные силы тяжести этих частиц , … практически параллельны и направлены вниз. То есть имеется система параллельных сил, выходящих из множества материальных точек, координаты которых , … . Равнодействующая этих параллельных сил , называется силой тяжести тела. Она приложена в точке С, являющейся центром тяжести тела, Итак, центром тяжести тела называется центр параллельных сил тяжести всех элементарных частиц тела.

Очевидно, что .

Используя теорему Вариньона, найдем момент равнодействующей относительно оси Оу как сумму моментов составляющих сил относительно той же оси:

.

Отсюда найдем координату центра тяжести x_C:

.

Затем мысленно повернём все силы против часовой стрелки на 90º и, используя уравнение моментов относительно оси Ох, получим

.