Условия равновесия плоской системы сил
Теорема. Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы были равны нулю:
,
.
Данная теорема имеет три формы.
Первая форма уравнений равновесия.
Теорема. Для равновесия произвольной плоской системы необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из двух выбранных координатных осей равнялась нулю и чтобы сумма моментов всех сил системы относительно любой точки плоскости также равнялась нулю.
Т.к.
,
а
,
,
то уравнения равновесия будут иметь вид:
.
Вторая форма уравнений равновесия.
Теорема. Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов всех сил относительно двух произвольных точек равнялась нулю и чтобы сумма проекций всех сил на произвольную ось, не перпендикулярную прямой, соединяющей эти точки, равнялась нулю:
.
Третья форма уравнений равновесия.
Теорема. Для равновесия произвольной плоскости системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех сил системы относительно каждого из трёх произвольных, но не лежащих на одной прямой центров равнялись нулю.
Доказательство:
а) необходимость: это условие очевидно, т. к. если есть равновесие, то сумма моментов всех сил относительно всякого центра равна нулю;
б) достаточность: возьмём три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. Пусть относительно них выполняются равенства:
.
Докажем, что система сил находится в равновесии.
Докажем обратное, что условия выполнены, а система сил не находится в равновесии.
Выберем точку A
за центр приведения и приведем все силы
к центру: получим
равнодействующую
,
приложенную к точке A.
Т.к. главный момент
,
то пары не будет.
Если окажется, что R
= 0, то теорема доказана (
).
Пусть
,
тогда линия действия
должна пройти через точку B,
чтобы выполнялось условие
,
а по теореме Вариньона,
.
Следовательно,
,
что может быть при
только в случае, если
проходит через точку B.
Таким образом,
проходит через точку A
и точку B. По
условию,
.
Т.к.
,
линия действия
должна пройти через точку C,
что невозможно, следовательно, R
= 0.
Лекция 3 равновесие пространственной системы сил. Центр тяжести
Пространственная система сил. Произвольная система сил. Аналитические условия равновесия произвольной пространственной системы сил. Центр параллельных сил и центр тяжести. Определение положения центров тяжести тел
Пространственная система сил. Равнодействующая пространственной системы сходящихся сил
Любую силу
можно представить диагональю прямоугольного
параллелепипеда, построенного на
составляющих
,
которые по модулю равны проекциям данной
силы на оси координат х, у, z.
Модуль и направление
определяют по формулам:
,
,
,
.
Система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости, но пересекаются в данной точке, называется пространственной системой сходящихся сил. Равнодействующая пространственной системы сходящихся сил равна геометрической сумме слагаемых сил:
.
Равнодействующая выражается замыкающей стороной пространственного силового многоугольника, стороны которого равны и параллельны данным силам. В частности, если число слагаемых сходящихся сил равно трем, то их равнодействующая по модулю и направлению выражается диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах. Силовой многоугольник пространственной системы сходящихся сил не является плоской фигурой, поэтому при сложении сходящихся сил, не лежащих в одной плоскости, предпочтительнее аналитический метод.
Теорема. Проекция равнодействующей системы сходящихся сил на какую-либо ось равна сумме проекций всех сил на эту же ось.
,
,
.
Зная составляющие, находим модуль и направление равнодействующей.