Лекция 2 равновесие плоской системы сил

Сложение сил. Пара сил и ее свойства. Понятие о моменте силы. Плоская система сил. Приведение плоской системы сил к данному центру. Условия равновесия плоской системы сил

Сложение двух параллельных сил, направленных в одну сторону

Теорема. Система двух параллельных сил, направленных в одну сторону, имеет равнодействующую, равную по величине их алгебраической сумме, параллельную им и направленную в ту же сторону. Линия действия равнодействующей проходит через точку, которая делит отрезок между точками приложения слагаемых сил на части, обратно пропорциональные этим силам внутренним образом.

Доказательство. Пусть на тело действуют две параллельные силы и . Соединим точки А и В отрезком прямой. Приложим к телу уравновешенную систему сил ( , ) ~ 0 и найдем равнодействующие и . Перенесем и в точку их пересечения О. Отметим, что ( , ) ~ ( , ). Разложим систему ( , ) на составляющие ( , , , ). Т.к. ( , ) ~ 0, отбросим её. Силы и направлены параллельно друг другу. Согласно аксиоме А 3, их сумма равна . Переносим силу вдоль ее линии действия в точку C на отрезке AB. Из подобия треугольников следует:

; .

Разделив эти выражения друг на друга, получим или .

Из свойств пропорции следует: , что и требовалось доказать.

Сложение двух параллельных сил, направленных в противоположные стороны

Пусть на тело действуют две параллельные силы, направленные в разные стороны (антипараллельные) силы и , причём . В соответствии с аксиомой статики разложим на две параллельные силы , приложенные в точке В и силу , приложенную в точке С. Таким образом, .

; ; ; .

Т.к. ( , ) ~ 0, остаётся только сила .

Следовательно, система двух антипараллельных сил имеет равнодействующую, которая по величине равна разности этих сил, параллельна им и направлена в сторону большей силы. Линия действия равнодействующей проходит через точку С, которая лежит на продолжении отрезка АВ, соединяющего точки приложения слагаемых сил, за большей силой и делит этот отрезок обратно пропорционально силам внешним образом.

Пара сил и её свойства

Пусть имеются равные антипараллельные силы , тогда ; АС = ∞; ВС = ∞. Следовательно, точка С находится в бесконечности.

Система двух равных по величине параллельных и направленных в разные стороны сил называется парой сил (понятие ввел Франсуа Пуансо (1777 – 1859)).

Очевидно, что пара сил не имеет равнодействующей, следовательно, она не ведет к поступательному движению тела, а приводит тело во вращательное движение. Плоскость, в которой действует пара, называется плоскостью пары, расстояние между силами – плечом пары. Действие пары на тело зависит от величины сил, плеча и направления сил. Эта зависимость выражается в понятии момента.

Моментом пары называется вектор, величина которого равна взятому со знаком плюс или минус произведению одной из сил пары на плечо пары.

Будем считать: при знаке «+» момент направлен против часовой стрелки; при знаке «–» – по часовой стрелке. Размерность момента – Н·м.

Теорема. Не нарушая кинематического состояния тела, можно переносить пару в любое положение в плоскости её действия.

Доказательство. Пусть на тело действует пара ( , ). Произвольно на таком же плече А₁В₁ возьмём две уравновешенные пары ( , ) и ( , ), эквивалентные нулю. Продлим их линии действия и сложим силы , , , .

Равнодействующие силы и равны по величине, направлены по одной линии (диагональ ромба) и противоположны. Остается система сил ( , ), эквивалентная ( , ). Т.к. точки A₁B₁ выбирались произвольно, теорема доказана.

Теорема. Не изменяя действия данной пары на тело, можно силу и плечо пары изменять любым способом, но так, чтобы момент пары остался неизменным.

Доказательство.

Пусть дана пара сил ( , ) с плечом АВ. Разложим силу на составляющие и , тогда , следовательно, имеем новую пару ( ).

На плече AC пара ( ) эквивалентна паре ( , ), причем для любой пары плечо AC удовлетворяет условию или . Теорема доказана.

Таким образом, задаваясь плечом, можно определить , и наоборот.

Теорема. Две пары, лежащие в одной плоскости и имеющие равные моменты, статически эквивалентны.

Эту теорему доказывать не будем, т.к. она является следствием двух предыдущих теорем.

Совокупность пар называется системой пар.

Теорема. Система пар, расположенных в одной плоскости, эквивалентна одной паре с моментом, равным алгебраической сумме моментов слагаемых пар.

Доказательство. Возьмем две пары ( , ) и ( , ), произвольно расположенные на плоскости. Приведем их к одинаковому плечу d. Согласно аксиоме А 3, силы , и , можно алгебраически сложить: ; . Силы и равны по величине и противоположны по направлению, следовательно, это новая пара с моментом , эквивалентным двум данным парам.

Нетрудно заметить, что . Это значит, что или (момент каждой пары должен быть взят со своим знаком).