Кинетическая энергия системы

Кинетической энергией системы называется скалярная величина, равная сумме кинетических энергий всех точек системы:

.

Вычислим кинетическую энергию при различных видах движения твердого тела.

Поступательное движение. В этом случае все точки движутся с одинаковыми скоростями, равными скорости центра масс – :

,

следовательно, .

Вращательное движение. Пусть тело вращается относительно оси Оz с угловой скоростью , тогда:

,

где – расстояние от точки до оси вращения,  – угловая скорость. Тогда

,

следовательно, .

Плоскопараллельное движение. При этом движении все точки тела совершают вращательное движение вокруг оси, проходящей через мгновенный центр скоростей, следовательно

,

где – момент инерции тела относительно оси, проходящей через МЦС. – величина переменная, т.к. положение мгновенного центра скоростей (точки Р) в каждый момент времени меняется. Выразим через (момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс). По теореме Гюйгенса,

,

где d = PC, тогда  d =  PC = V_С,

.

При плоскопараллельном движении кинетическая энергия тела равна энергии поступательного движения со скоростью центра масс, сложенной с кинетической энергией вращательного движения вокруг центра масс.

Эта теорема является частным случаем более общей теоремы, доказанной Кенигом (1751 г.).

Теорема об изменении кинетической энергии системы

Вспомним, что эта теорема для точки записывается в следующем виде:

.

Составим также уравнения для системы из n точек и почленно их сложим:

или .

Это равенство выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме. Интегрируя, получим запись теоремы в интегральной форме:

.

Изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.

В отличие от других теорем внутренние силы здесь не исключаются. Несмотря на то, что , точки B₁ и B₂ могут перемещаться по направлению друг к другу, а работы сил будут положительными и сумма работа не равна нулю.

Неизменяемой называется такая система, в которой расстояние между каждыми двумя точками в течение всего времени движения остается неизменным.

По теореме о проекциях скоростей,

или, поскольку ,

.

Кроме того, , тогда

.

В случае неизменяемой системы сумма работ внутренних сил равна нулю, а уравнение теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме примет вид:

,

откуда путем интегрирования получим:

.

Изменение кинетической энергии неизменяемой системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних сил.

Система с идеальными связями

Разделим все внешние и внутренние силы на активные и реакции связей, тогда

.

Но при идеальных связях отсутствует перемещение связей, следовательно, , т.к. dS = 0.

Например, при движении (скольжении) тела по поверхности без трения (так же, как и при качении без скольжения) работа реакции N равна нулю. Работа реакции шарнира, если пренебречь трением, также равна нулю. Поэтому

, .

Преимуществом теоремы является возможность исключения из рассмотрения заранее неизвестных реакций связей.