Закон сохранения количества движения

1. Если сумма всех внешних сил, действующих на механическую систему, равна нулю, то вектор количества движения системы есть величина постоянная по модулю и направлению.

Если , то , следовательно .

2. Если сумма проекций всех действующих сил на какую-либо ось равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось есть величина постоянная.

Если , то , следовательно .

Лекция 11 главный момент количеств движения (кинетический момент) системы относительно центра и оси

Понятие о моменте количества движения точки. Теорема об изменении момента количества движения точки. Кинетический момент. Теорема об изменении кинетического момента системы при ее движении по отношению к центру масс

М оментом количества движения точки относительно некоторого центра О называется векторная величина , определяемая равенством:

(1)

где – радиус-вектор движущейся точки. Вектор направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через и центр О, а модуль равен ,

где h – кратчайшее расстояние от центра до линии действия вектора скорости.

Момент количества движения (МКД) точки относительно какой-либо оси Оz , проходящей через центр О, равен проекции вектора на эту плоскость:

.

Продифференцируем обе части уравнения (1). Для правой части

.

Выражение как векторное произведение двух параллельных векторов. Учитывая, что – момент силы относительно центра 0 , получим:

.

Теорема об изменении момента количества движения точки. Производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-нибудь неподвижного центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

Закон сохранения момента количества движения точки

Из равенства следует, что если , то .

Если момент действующих сил относительно некоторого центра равен нулю, то момент количества движения точки относительно этого центра есть величина постоянная.

Такое возможно в двух случаях: либо , либо плечо равно нулю, тогда эта сила будет называться центральной, т.е. линия ее действия проходит все время через данный центр О (например, сила притяжения планет к Солнцу, сила натяжения нити при кордовой модели).

Главным моментом количеств движения (или кинетическим моментом) системы относительно данного центра О называется векторная величина , равная геометрической сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно этого центра:

Аналогично определяются моменты количеств движения (МКД) относительно координатных осей:

,

,

.

В предыдущей лекции отмечалось, что количество движения можно рассматривать как характеристику поступательного движения. Ниже покажем, что главный МКД системы может рассматриваться как характеристика вращательного движения.

Кинетический момент вращающегося тела

Пусть тело вращается вокруг неподвижной оси z.

Определим . Возьмем точку К на расстоянии h_К от оси. Она будет иметь скорость, равную V_К = h_К, где  – угловая скорость тела. Тогда .

Для всего тела .

Т.к. , то .

Кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела.

Если система состоит из нескольких тел, вращающихся вокруг одной оси, то .