Дифференциальные уравнения в проекциях на оси естественного трехгранника

Для получения уравнений движения материальной точки на плоскости спроецируем основное уравнение динамики на оси естественного трехгранника , n, b. Зная, что , , получим , , .

Пример. Движение материальной точки массой m с некоторого момента времени происходит по окружности радиусом r согласно уравнению S = b + 2r·ln·t (b = const). Определить модуль равнодействующей силы, приложенной к точке, как функцию времени t.

Решение:

; .

Следовательно, .

П ример. Самолет в период взлета движется поступательно и прямолинейно с постоянным ускорением а, образующим с горизонтом угол . Определить модуль этого ускорения, если известно, что нить ОМ математического маятника, находящегося на самолете, отклонена от вертикали на угол . Каково натяжение нити, если масса маятника равна m?

Решение:

.

Проецируя на оси x и y, получим:

x: – mа sin  = P – T cos , (1)

y: mа cos  = T sin . (2)

Умножив первое уравнение на cos , а второе – на sin , сложив их, получим:

0 = P cos  – T cos  sin  + T sin  cos ,

откуда .

После подстановки полученного значения силы Т в уравнение (2) получим:

.

Алгоритм решения основной задачи динамики

1. Составить дифференциальные уравнения движения. Для этого необходимо:

а) выбрать координатные оси, поместив их начало в начальном положении точки (если движение прямолинейное, то одну из координатных осей следует проводить вдоль линии движения точки);

б) изобразить движущуюся точку в произвольный момент времени t и показать на рисунке все действующие на нее силы, в том числе и реакции связей (если они есть);

в) найти сумму проекций всех сил на выбранные оси и подставить в уравнения движения.

2. Проинтегрировать полученные уравнения.

3. Установить начальные условия движения точки М и по ним определить константы интегрирования.

4. Из полученных уравнений определить искомые величины.

Пример. Груз массой m сброшен без начальной скорости с самолета, движущегося горизонтально со скоростью V₀. Определить уравнение движения груза, если при его движении действует сила сопротивления , где k – положительный коэффициент.

Решение:

Разделяем переменные, вводя следующую замену:

.

Интегрируя, получим:

Начальные условия:

при

Тогда .

Интегрируем еще раз:

Начальные условия: t = 0; x = 0; y = 0, тогда

Таким образом, находим искомые уравнения:

Лекция 9 динамика механической системы

Механическая система. Масса системы. Центр масс и его координаты. Теорема о движении центра масс. Свойства внутренних и внешних сил. Дифференциальные уравнения движения центра масс. Осевые моменты инерции тела

М еханической системой называют систему материальных точек. Представим себе механическую систему и обозначим координаты i-й точки через x_i, y_i, z_i.

Геометрическая точка С, определяемая координатами: (1)

где M = m_i – масса всей системы называется центром инерции или центром масс системы. Умножив числитель и знаменатель в этих формулах на ускорение свободного падения g, получим выражения:

где Р – вес системы.

Очевидно, что центр инерции (ЦИ) совпадает с центром тяжести (ЦТ) системы. Понятие ЦИ гораздо шире, чем понятие ЦТ, т.к. ЦТ существует только, когда система находится в поле сил гравитации, а существование ЦИ не зависит от действия на систему каких-либо сил.

Положение центра инерции может быть также определено значением радиуса-вектора, проведенного в центр инерции из начала координатных осей. Обозначим радиус-векторы точек системы через , тогда

. (2)

Это векторное равенство равносильно предыдущим трем, т.к., проецируя обе части равенства (2) на координатные оси, получим равенство (1).