Лекция 7 плоскопараллельное движение твердого тела (определение ускорений)
П
усть
тело совершает плоское движение в
координатах xOy.
Требуется определить ускорение точки
М. Обозначим полюс точкой А и проведем
через него оси
которые движутся вместе с полюсом А,
оставаясь параллельными осям x
и y. Обозначим положение
точек А и М радиус-векторами:
,
где
,
тогда
или
.
Так как
–
ускорение во вращательном движении
точки М вокруг точки А, то
,
где
,
.
Таким образом,
.
Ускорение любой
точки
плоской фигуры геометрически складывается
из ускорения какой-нибудь другой точки
А, принятой за полюс, и ускорения, которое
точка М получает при вращении фигуры
вокруг этого полюса.
При
этом вектор
направлен перпендикулярно МА в сторону
вращения, если движение ускоренное, и
против вращения, если движение замедленное.
Вектор
всегда направлен от точки М к точке А.
В общем случае, если
движение полюса А является
криволинейным, получим
.
П
ример.
Колесо катится без скольжения в
вертикальной плоскости по наклонному
прямолинейному пути. Найти ускорение
концов двух взаимно перпендикулярных
диаметров колеса, из которых один
параллелен рельсу, если в рассматриваемый
момент времени скорость центра колеса
,
ускорение центра колеса
,
радиус колеса
.
Решение.
Точка
– мгновенный центр скоростей,
следовательно, угловая скорость колеса
равна:
.
Угловое ускорение колеса равно:
.
Примем за полюс точку
О, тогда
,
где
,
.
Решим задачу для точки
.
Для этого покажем векторы ускорения.
Решим задачу для точки
.
Решим задачу для точки
.
Решим задачу для точки .
.
Пример.
В механизме
эллипсографа в данный момент времени
ползун движется со скоростью
и ускорением
.
Направления векторов указаны на рисунке.
Длина стержня
см.
Определить скорость и ускорение ползуна
В
и точки С, лежащей в центре стержня
АВ.
Решение:
1. Определим скорости точек В и C.
Скорость точки B направлена вниз вдоль направляющих. Определяем точку P – мгновенный центр скоростей:
,
.
Так как
,
то
.
(как часть диагонали прямоугольника),
поэтому
.
2. Определим ускорения точек В и C.
По теореме об ускорениях точек твердого тела при его плоском движении
,
(1)
где
,
.
.
Величины
и
находим, проецируя равенство (1) на оси
x
и y:
x:
,
y:
.
Откуда
,
.
Т.к.
,
то
и направлено против часовой стрелки.
Для точки С имеем:
,
(2)
,
.
Проецируя выражение (2) на оси x и y, получим:
x:
,
y:
;
.
Лекция 8 динамика точки
Введение в динамику. Законы классической механики (законы Галилея–Ньютона). Инерциальная система отсчета. Задачи динамики. Дифференциальные уравнения движения точки в декартовых неподвижных координатах и проекциях на естественные оси. Решение основной задачи динамики
Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под действием сил. Понятие сил вводилось в статике, где тела находились под действием постоянных сил. При решении задач динамики силы могут изменяться как по модулю, так и по направлению. Например, сила упругости пружины зависит от координаты, сила сопротивления воздуха движущемуся автомобилю зависит от скорости и т.д. Можно представить материальные тела состоящими из материальных точек, т.е. малых частиц, размером которых можно пренебречь. Таким образом, тело – это совокупность материальных точек.
Мы займемся сначала изучением законов движения отдельной материальной точки, затем полученные результаты обобщим на множество точек и получим законы движения механической системы.
Раздел динамики условно состоит из двух частей: динамики точки и динамики механической системы. Вначале рассмотрим законы классической механики.