Мгновенный центр скоростей

Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Если тело движется непоступательно, то такая точка существует и при этом является единственной.

Пусть в момент времени t скорости точек А и В плоской фигуры будут не параллельны, тогда точка Р будет мгновенным центром скоростей, так как по теореме о проекциях должна проецироваться в ноль на отрезки АР и РВ одновременно. Это возможно, если . Если за полюс взять точку Р, то , так как .

Скорости точек плоской фигуры в данный момент времени определяются так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг мгновенного центра скоростей:

,

,

.

Скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра скоростей.

Выводы:

1. Для определения мгновенного центра скоростей достаточно знать только направления скоростей и каких-нибудь двух точек А и В плоской фигуры.

2. Для определения скорости любой точки плоской фигуры необходимо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки А фигуры и направление скорости другой ее точки В.

3. Угловая скорость плоской фигуры равна в каждый данный момент времени отношению скорости какой-нибудь точки фигуры к ее расстоянию до мгновенного центра скоростей Р.

Частные случаи определения мгновенного центра скоростей

а ) если движение осуществляется путем качения (без скольжения) одного цилиндрического тела по поверхности другого неподвижного тела, то точка Р катящегося тела, касающаяся неподвижного тела, имеет скорость и, следовательно, является мгновенным центром скоростей;

б) если скорости точек А и В параллельны друг другу, причем линия AB не перпендикулярна векторам скоростей, то мгновенный центр скоростей находится в бесконечности, а движение в данный момент времени поступательное;

в) если скорости точек А и В параллельны друг другу, и при этом АВ перпендикулярна векторам скоростей, то мгновенный центр скоростей Р определяется построением, показанным на рисунке;

г) если известны вектор скорости точки А и угловая скорость тела, то положение мгновенного центра скоростей Р, лежащего на перпендикуляре к вектору скорости точки А, можно найти из равенства

.

При движении плоской фигуры мгновенный центр скоростей непрерывно изменяет свое положение как на неподвижной плоскости, так и на подвижной, связанной с плоской фигурой. Геометрическое место мгновенного центра скоростей на неподвижной плоскости называют неподвижной центроидой, а на плоской фигуре – подвижной центроидой.

План скоростей

Планом скоростей называется диаграмма, на которой от некоторого центра отложены векторы скоростей точек тела.

Пусть и – скорости соответствующих точек тела. Отложим векторы скоростей, соответствующие в некотором масштабе отрезкам определенной длины, от произвольно выбранного центра О, тогда векторы .

Допустим, что точка А – полюс, тогда , где , . Из диаграммы видно, что или , следовательно, , тогда . Кроме того, так как , то .

Отрезки, соединяющие концы векторов скоростей на плане скоростей, перпендикулярны отрезкам, соединяющим соответствующие точки тела, и по модулю пропорциональны этим отрезкам.

План скоростей позволяет получить скорость любой точки тела. План скоростей механизма строится как совокупность планов скоростей отдельных его звеньев (тел), причем все векторы скоростей откладываются от общего центра О, называемого полюсом плана скоростей.

Пример. Определить скорость ползуна В для показанного на рисунке положения механизма, если угловая скорость кривошипа ОА равна . Решение выполнить двумя способами:

1) с использованием теоремы о проекциях скоростей двух точек тела;

2) построением мгновенного центра скоростей (МЦС) шатуна АВ.

Решение:

1. , .

Т.к. скорость направлена вдоль оси ползуна, то, по теореме о проекциях скоростей, имеем:

; ; ;

2. Найдем положение МЦС (точка Р, рис.), тогда

, .

– прямоугольный, так как ; , .