Угловая скорость

Для характеристики быстроты изменения  введем понятие угловой скорости.

Пусть в момент времени t положение тела определялось углом  (t), а в момент углом  . Тогда за время угол поворота получит приращение . Отношение приращения к называется средней угловой скоростью тела за время :

.

Переходя к пределу при , получим:

,

где – угловая скорость тела в данный момент времени.

Величина угловой скорости твердого тела при вращении его вокруг неподвижной оси равна первой производной от угла поворота по времени.

Знак  определяет направление вращения тела. Если вращение происходит против хода часовой стрелки, то  > 0, т.е. положительное приращение угла отсчитывается против хода часовой стрелки. Размерность угловой скорости – 1/c или .

Угловую скорость можно изображать в виде вектора , модуль которого равен и который направлен вдоль оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки.

Угловое ускорение

Угловое ускорение характеризует изменение угловой скорости с изменением времени.

Если за промежуток времени угловая скорость изменится на величину , то числовое значение среднего углового ускорения равно:

.

Переходя к пределу при , получим:

.

Числовое значение углового ускорения тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота по времени. Размерность углового ускорения – 1/c² или c ^–2.

Вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения: если совпадает с направлением , то вращение ускоренное, если нет – замедленное.

Равномерное и равнопеременное вращение

Если угловая скорость во все время движения тела остается постоянной, то вращение тела называется равномерным (  = const).

Закон движения в дифференциальной форме имеет вид:

В начальный момент времени угол . Интегрируя уравнение в пределах и , получим

.

При , или .

В технике угловая скорость соответствует характеристике, называемой частотой вращения, обозначаемой n и измеряемой в об/мин (мин^–1).

Т.к. 1 оборот = 2 радиан, 1 мин = 60 сек, перевод из об/мин в  осуществляется по формуле:

.

Если угловое ускорение все время остается постоянным, то такое вращение называется равнопеременным :

.

Интегрируя в пределах и , получим .

Представив , получим

или

.

Если  и  имеют одинаковые знаки, то движение является равноускоренным, в противном случае – равнозамедленным.

Определение скоростей и ускорений точек вращающегося тела. Скорости точек тела

В озьмем точку М тела на расстоянии h от оси вращения. Точка M будет описывать окружность радиуса h, плоскость которой перпендикулярна оси вращения. Если за время dt происходит элементарный поворот d, то ; скорость называется линейной или окружной. Учитывая, что , получим .

Числовое значение скорости точки вращающегося тела равно произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения. Скорость направлена по касательной к описываемой окружности. Так как  для всех точек тела одинаковы, то скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям до оси вращения.

Для определения ускорений точек тела воспользуемся формулами:

; .

В нашем случае ,

, .

Отклонение вектора полного ускорения от радиуса определяется углом :

.

П ример. Вал радиуса = 10 см приводится во вращение гирей, подвешенной к нему на нити. Движение гири выражается уравнением , где х – расстояние гири от места схода нити с поверхности вала, выражаемое в см, t – время, выражаемое в секундах. Определить угловую скорость  и угловое ускорение  вала, а также полное ускорение точки В на поверхности вала в момент времени t.

Решение:

, где  – угол поворота вала .

,

,

см/с²,

см/с².

см/с².