6.1.2. Вычисление нормалей и углов отражения

Вычисление координат вектора нормали. Рассматривая модели отражения света, вы, наверное, обратили внимание на то, что нормаль к поверхности - важный элемент. Опре­деление вектора нормали к поверхности в заданной точке может быть выполнено разными способами. В значительной степени это определяется типом модели описания поверхности. Для поверхностей, заданных в аналитической форме, известны методы дифференциальной геометрии, которые основываются на вычислении частных производных функций описа­ния. Например, если поверхность задана параметрическими функциями

x = x (s, t),

y = y (s, t),

z = z (s, t),

тогда координаты вектора нормали можно вычислить так:

В случае описания поверхности векторно-полигональной моделью для определения нормалей можно использовать методы векторной алгебры.

Пусть в пространстве задана некоторая многогранная поверхность. Рассмотрим одну ее плоскую грань, имеющую вид треугольника (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Одна грань поверхности Радиус-векторы

Для вычисления координат вектора нормали воспользуемся векторным произведением любых двух векторов, которые лежат в плоскости грани. Такими векторами могут служить и ребра грани, например, ребра 1-2 и 1-3. Однако формулы для векторного произведения были определены нами только для радиус-векторов. Чтобы перейти к радиус-векторам, вве­дем новую систему координат, центр которой совпадает с вершиной 1, а оси - параллель­ны осям бывшей системы. Координаты вершин в новой системе:

Теперь назовем ребро (1-2) вектором А, а ребро (1-3) - векто­ром В, как показано на рис. 6.2. Таким образом, положение нор­мали к грани в пространстве будет описываться радиус-вектором N. Его координаты в системе (х', у', z') выразим формулами для векторного произведения

(y₂ - y₁)(z₃ -z₁) - (z₂ - z₁)(y₃ - y₁),

(z₂ -z₁)(x₃ -x₁) - (x₂ - x₁)(z₃ - z₁)

(x₂ - x₁)(y₃ -y₁) - (y₂ - y₁)(x₃ - x₁)

Плоская грань может быть изображена в разных ракурсах. В каждой конкретной ситуации необходимо выбирать направление нормали, которое соответствует видимой стороне грани. Если плоская грань может быть видна с обратной стороны, то тогда в расчетах отраженного света необходимо выбирать для нормали обратный вектор, то есть (-N).

Если полигональная поверхность имеет не треугольные грани, а, например, плоские че­тырехугольные, то расчет нормали можно выполнять по любым трем вершинам грани.

Диффузное отражение. Рассчитаем косинус угла между вектором нормали и направле­нием на источник света. Это можно выполнить таким способом.

Сначала необходимо определить радиус-вектор, направленный на источник света. Обо­значим его как S. Потом для вычисления косинуса угла между радиус-векторами S и N вос­пользуемся формулами скалярного произведения векторов. Поскольку

S∙N = │S││N│ cosΘ

а также

S∙N = x_sx_N + y_sy_N + z_sz_N

то получим

cosΘ= x_sx_N + y_sy_N + z_sz_{N /} │S││N│

Для упрощения вычислений целесообразно использовать векторы S и N единичной дли­ны, то есть |S|*|N| = 1.

Использование скалярного произведения здесь можно считать универсальным методом, который можно использовать для любого расположения точечного источника света. В от­дельных случаях можно рассчитать косинус угла падения по-иному. Например, если источ­ник света располагается на оси Z видовых координат в бесконечности позади камеры, тогда косинус угла нормали к грани с осью Z равняется отношению координаты r и длины ради­ус-вектора нормали

Зеркальное отражение. Будем считать, что задан радиус-вектор S, направленный на ис­точник света, а также известен радиус-вектор нормали N. Нужно найти косинус угла между отраженным лучом и направлением камеры.

Сначала необходимо вычислить радиус-вектор отраженного луча. Обозначим его как R. Выпол­ним некоторые геометрические построения, как показано на рис. 6.3.

Рис. 6.3. Векторы R₁, S₁ и N₁ – единичной длины

Для решения нашей задачи сначала рассмот­рим единичные векторы R₁, S₁, и N₁. Поскольку векторы нормали, падающего луча и отраженного луча находятся в одной плоскости, то можно за­писать R₁ + S₁ = N¹, где N¹ - это вектор, который соответствует диагонали ромба и совпадает по yаправлению с нормалью. Длина вектора N₁ равняется 2cos. Поскольку вектор N¹ по на­правлению совпадает с N₁, то

N¹ = N₁ 2 cos Θ

или

R₁ + S₁ = N₁ 2 cos Θ

Отсюда находится единичный вектор отраженного луча:

R₁ = N₁ 2 cos Θ - S₁ = 2 cos Θ -

Найдем cos. Для этого используем скалярное произведение векторов N и S:

cos Θ =

Подставим это значение в выражение для R₁:

R₁ = N₁ 2 -

Полагая, что искомый вектор отраженного луча будет иметь такую же длину, что и вектор падающего луча, т.е. R = S R₁ , получим:

R = N 2 - S

Это решение в векторной форме. Запишем координаты вектора R:

Теперь осталось найти косинус угла между отраженным лучом и направлением камеры. Пусть K - радиус-вектор, направленный на камеру. Найдем искомый косинус угла:

cos Θ = =

Для упрощения вычислений целесообразно задавать векторы S, N и R единичной длины (тогда и R будет единичным).