Тр: “алгебра и аналитическая геометрия”
Задача 1. Вычислить определитель.
Задача 2. Даны
матрицы
и
.
Найти матрицу
.
Задача 3. Найти
произведение матриц
.
Существует ли
произведение
?
Почему?
Задача 4. Найти обратную матрицу для матрицы . Сделать проверку.
Задача 5. Решить матричное уравнение.
Задача 6. Найти ранг матрицы.
Задача 7. Решить систему линейных уравнений:
по формулам Крамера;
с помощью обратной матрицы;
методом Гаусса.
Задача 8. Найти общее решение и фундаментальную систему решений
для системы уравнений.
Задача 9. Написать
разложение вектора
по векторам
,
и
.
Задача 10-16. Условия приведены в задании.
Вариант 1
1.
2.
,
,
3.
,
4.
5.
6.
7.
8.
9.
,
,
и
10.
Вычислить проекцию вектора
на направление вектора
,
где
;
.
11.
Векторы
и
образуют угол в
,
,
.
Найти длину
вектора
,
если
.
12.
Лежат ли точки
,
,
и
в одной
плоскости?
13. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин
и уравнения двух
высот:
и
.
14.
Написать уравнение плоскости, проходящей
через ось
и точку
.
15.
Составить уравнение прямой, которая
проходит через точку
перпендикулярно
к вектору
и пересекает прямую
.
16.
Принадлежит ли прямая
плоскости
?
Вариант 2
1.
2.
,
,
3.
,
4.
5.
6.
7.
8.
9.
,
,
и
10.
Найти единичный вектор, перпендикулярный
векторам
и
.
11.
Сила
приложена к точке
.
Определить момент
этой силы
относительно точки
.
12.
Какую тройку (левую или правую) образуют
векторы
,
и
?
13.
Составить уравнения
сторон треугольника, зная одну его
вершину
,
а также уравнения
высоты
и медианы
,
проведенных из различных вершин.
14.
Написать уравнение плоскости, проходящей
через точку
и
отсекающей от осей координат положительные и равные отрезки.
15.
Составить каноническое уравнение
прямой, лежащей в плоскости
,
проходящей через начало координат и перпендикулярной к прямой
.
16.
Найти угол между прямой
и плоскостью, проходящей
через точки
,
,
.
Вариант 3
1.
2.
,
,
3.
,
4.
5.
6.
7.
8.
9.
,
,
и
10.
При каком t
векторы
и
будут взаимно
перпендикулярны?
11.
Вычислить площадь треугольника,
построенного на векторах
и
,
если
,
угол между векторами
и
равен
.
12.
Компланарны ли векторы
,
и
?
13.
Через точку пересечения прямых
и
провести
прямую, которая, кроме того, 1) проходит через начало координат;
2) параллельна оси абсцисс; 3) параллельна оси ординат;
4) проходит
через точку
.
14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М(1; 2; 0) и
N(2;
1; 1) параллельно вектору
(3;
0; 1).
15. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (3; -2; 0) перпен-
дикулярно к
прямой
и расположенной
в плоскости
.
16. Составить уравнение прямой, проходящей через точки пересечения
плоскости
с прямыми
и
.