
- •5) Ответ:
- •Правило Крамера. Метод обратной матрицы
- •Решение системы по формулам Крамера
- •Решение системы с помощью обратной матрицы
- •Вектор нормали плоскости (нормальный вектор)
- •Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали?
- •Как построить плоскость, параллельную данной?
- •Как найти расстояние от точки до плоскости?
- •Взаимное расположение плоскостей
- •Совпадающие плоскости
- •Параллельные плоскости
- •Как найти расстояние между плоскостями?
- •Пересекающиеся плоскости
- •Как найти угол между плоскостями?
- •Взаимное расположение трёх плоскостей
- •Векторы для чайников. Действия с векторами. Координаты вектора. Простейшие задачи с векторами
- •Понятие вектора. Свободный вектор
- •Действия с векторами. Коллинеарность векторов
- •Правило сложения векторов по правилу треугольников
- •Умножение вектора на число
- •Какие векторы являются равными?
- •Координаты вектора на плоскости и в пространстве
- •Простейшие задачи аналитической геометрии. Действия с векторами в координатах
- •Как найти вектор по двум точкам?
- •Как найти длину отрезка?
- •Как найти длину вектора?
- •Действия с векторами в координатах
- •Угол между векторами
- •Скалярное произведение векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе
- •Скалярное произведение в координатах
- •Проверка векторов на ортогональность с помощью скалярного произведения
- •Скалярное произведение в координатах, если векторы заданы суммами векторов
- •Формула косинуса угла между векторами, которые заданы координатами
- •Проекция вектора на вектор. Проекция вектора на координатные оси. Направляющие косинусы вектора
- •Проекция вектора на координатные оси. Направляющие косинусы вектора
- •Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Базис векторов. Аффинная система координат
- •Линейная зависимость и независимость векторов плоскости. Базис плоскости и аффинная система координат
- •Как определить коллинеарность векторов плоскости?
- •Как определить коллинеарность векторов пространства?
- •Линейная зависимость и независимость векторов трехмерного пространства. Пространственный базис и аффинная система координат
- •Доказать, что 3 вектора образуют базис трёхмерного пространства и найти координаты 4-го вектора в данном базисе
- •Простейшие задачи с прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых. Угол между прямыми
- •Взаимное расположение двух прямых
- •Как определить взаимное расположение двух прямых?
- •Как построить прямую, параллельную данной?
- •Как найти точку пересечения двух прямых?
- •Перпендикулярные прямые. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми
- •Как построить прямую, перпендикулярную данной?
- •Расстояние от точки до прямой
- •Как построить точку, симметричную относительно прямой?
- •Как найти расстояние между двумя параллельными прямыми?
- •Угол между двумя прямыми
Какие векторы являются равными?
Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Заметьте, что сонаправленность подразумевает коллинеарность векторов. Определение будет неточным (избыточным), если сказать: «Два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковую длину».
С точки зрения понятия свободного вектора, равные векторы – это один и тот же вектор, о чём уже шла речь в предыдущем параграфе.
Координаты вектора на плоскости и в пространстве
Первым
пунктом рассмотрим векторы на плоскости.
Изобразим декартову прямоугольную
систему координат и от начала координат
отложим единичные векторы
и
:
Векторы и ортогональны. Ортогональны = Перпендикулярны. Рекомендую потихоньку привыкать к терминам: вместо параллельности и перпендикулярности используем соответственно слова коллинеарность и ортогональность.
Обозначение: ортогональность
векторов записывают привычным значком
перпендикулярности, например:
.
Рассматриваемые векторы называют координатными векторами или ортами. Данные векторы образуют базис на плоскости. Что такое базис, думаю, интуитивно многим понятно, более подробную информацию можно найти в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов. Простыми словами, базис и начало координат задают всю систему – это своеобразный фундамент, на котором кипит полная и насыщенная геометрическая жизнь.
Иногда построенный базис называют ортонормированным базисом плоскости: «орто» – потому что координатные векторы ортогональны, прилагательное «нормированный» означает единичный, т.е. длины векторов базиса равны единице.
Обозначение: базис
обычно записывают в круглых скобках,
внутри которых в
строгой последовательности перечисляются
базисные векторы, например:
.
Координатные векторы нельзя переставлять
местами.
Любой вектор
плоскости единственным
образом выражается
в виде:
,
где
– числа,
которые называются координатами
вектора в
данном базисе. А само
выражение
называется разложением
вектора
по
базису
.
Ужин подан:
! ВСЕМ настоятельно рекомендую прочитать ВСЁ!
Начнем
с первой буквы
алфавита:
. По чертежу хорошо видно, что при
разложении вектора по базису используются
только что рассмотренные:
1) правило
умножения вектора на число:
и
;
2)
сложение векторов по правилу
треугольника:
.
А
теперь мысленно отложите вектор
от
любой другой точки плоскости. Совершенно
очевидно, что его разложение
будет
«неотступно следовать за ним». Вот она,
свобода вектора – вектор «всё носит
при себе». Это свойство, разумеется,
справедливо для любого вектора. Забавно,
что сами базисные (свободные) векторы
не
обязательно откладывать от начала
координат, один можно нарисовать,
например, слева внизу, а другой – справа
вверху, и от этого ничего не изменится!
Правда, делать так не нужно, поскольку
преподаватель тоже проявит оригинальность
и нарисует вам «зачтено» в неожиданном
месте.
Векторы
,
иллюстрируют
в точности правило умножения вектора
на число, вектор
сонаправлен
с базисным вектором
,
вектор
направлен
противоположно по отношению к базисному
вектору
.
У данных векторов одна из координат
равна нулю, дотошно можно записать
так:
А
базисные векторы, к слову, так:
(по
сути, они выражаются сами через себя).
И,
наконец:
,
.
Кстати, что такое вычитание векторов,
и почему я не рассказал о правиле
вычитания? Где-то в линейной алгебре,
уже не помню где, я отмечал, что вычитание
– это частный случай сложения. Так,
разложения векторов «дэ» и «е» преспокойно
записываются в виде суммы:
,
.
Переставьте слагаемые местами и
проследите по чертежу, как чётко в этих
ситуациях работает старое доброе
сложение векторов по правилу треугольника.
Рассмотренное разложение вида иногда называют разложением вектора в системе орт (т.е. в системе единичных векторов). Но это не единственный способ записи вектора, распространён следующий вариант:
Или
со знаком равенства:
Сами
базисные векторы записываются так:
и
То есть, в круглых скобках указываются координаты вектора. В практических задачах используются все три варианта записи.
Сомневался,
говорить ли, но всё-таки скажу: координаты
векторов переставлять нельзя. Строго
на первом месте записываем
координату, которая соответствует
единичному вектору
, строго
на втором месте записываем
координату, которая соответствует
единичному вектору
.
Действительно,
и
–
это ведь два разных вектора.
С
координатами на плоскости разобрались.
Теперь рассмотрим векторы в трехмерном
пространстве, здесь практически всё
так же! Только добавится ещё одна
координата. Трехмерные чертежи выполнять
тяжко, поэтому ограничусь одним вектором,
который для простоты отложу от начала
координат:
Перед
вами ортонормированный базис
трехмерного
пространства и прямоугольная система
координат, единичные векторы
данного
базиса попарно ортогональны:
и
.
Ось
наклонена
под углом 45 градусов только для того,
чтобы складывалось визуальное впечатление
пространства. О том, как правильно
выполнять плоские и трехмерные чертежи
на клетчатой бумаге, читайте в самом
начале методичкиГрафики
и свойства функций.
Любой вектор
трехмерного
пространства можно единственным
способом разложить
по ортонормированному базису
:
,
где
–
координаты вектора
(числа)
в данном базисе.
Пример
с картинки:
.
Давайте посмотрим, как здесь работают
правила действий с векторами. Во-первых,
умножение вектора на число:
(красная
стрелка),
(зеленая
стрелка) и
(малиновая
стрелка). Во-вторых, перед вами пример
сложения нескольких, в данном случае
трёх, векторов:
.
Вектор суммы
начинается
в исходной точке отправления (начало
вектора
)
и утыкается в итоговую точку прибытия
(конец вектора
).
Все векторы трехмерного пространства, естественно, тоже свободны, попробуйте мысленно отложить вектор от любой другой точки, и вы поймёте, что его разложение «останется при нём».
Аналогично
плоскому случаю, помимо записи
широко
используются версии со скобками:
либо
.
Если
в разложении отсутствует один (или два)
координатных вектора, то вместо них
ставятся нули. Примеры:
вектор
(дотошно
)
– запишем
;
вектор
(дотошно
)
– запишем
;
вектор
(дотошно
)
– запишем
.
Базисные
векторы записываются следующим образом:
Вот, пожалуй, и все минимальные теоретические знания, необходимые для решения задач аналитической геометрии. Возможно многовато терминов и определений, поэтому чайникам рекомендую перечитать и осмыслить данную информацию ещё раз. Да и любому читателю будет полезно время от времени обращаться к базовому уроку для лучшего усвоения материала. Коллинеарность, ортогональность, ортонормированный базис, разложение вектора – эти и другие понятия будут часто использоваться в дальнейшем. Отмечу, что материалов сайта недостаточно для сдачи теоретического зачета, коллоквиума по геометрии, так как все теоремы (к тому же без доказательств) я аккуратно шифрую – в ущерб научному стилю изложения, но плюсом к вашему пониманию предмета. Для получения обстоятельной теоретической справки прошу следовать на поклон к профессору Атанасяну.
А мы переходим к практической части: