Как построить прямую, параллельную данной?
За незнание этой простейшей задачи сурово наказывает Соловей-Разбойник.
Пример 2
Прямая
задана уравнением 
.
Составить уравнение параллельной
прямой, которая проходит через точку 
.
Решение:
Обозначим неизвестную прямую буквой 
.
Что о ней сказано в условии? Прямая
проходит
через точку 
.
А если прямые параллельны, то очевидно,
что направляющий вектор прямой «цэ»
подойдёт и для построения прямой «дэ».
Вытаскиваем
направляющий вектор из уравнения
:
Уравнение
прямой
составим
по точке
и
направляющему вектору
:
Ответ: 
Геометрия
примера выглядит незатейливо:
Аналитическая же проверка состоит в следующих шагах:
1)
Проверяем, что у прямых 
один
и тот же направляющий вектор (если
уравнение прямой не упрощено должным
образом, то векторы будут коллинеарны).
2) Проверяем, удовлетворяет ли точка полученному уравнению .
Аналитическую проверку в большинстве случаев легко выполнить устно. Посмотрите на два уравнения, и многие из вас быстро определят параллельность прямых безо всякого чертежа.
Примеры для самостоятельного решения сегодня будут творческими. Потому что вам ещё придётся тягаться с Бабой-Ягой, а она, знаете, любительница всяких загадок.
Пример 3
Составить
уравнение прямой, проходящей через
точку 
,
параллельную прямой 
,
если 
Существует рациональный и не очень рациональный способ решения. Самый короткий путь – в конце урока.
С параллельными прямыми немного поработали и к ним ещё вернёмся. Случай совпадающих прямых малоинтересен, поэтому рассмотрим задачу, которая хорошо знакома вам из школьной программы:
Как найти точку пересечения двух прямых?
Если
прямые
пересекаются
в точке 
,
то её координаты являются решением системы
линейных уравнений 
Как найти точку пересечения прямых? Решить систему.
Вот вам и геометрический смысл системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными – это две пересекающиеся (чаще всего) прямые на плоскости.
Пример 4
Найти
точку пересечения прямых 
Решение: Существуют два способа решения – графический и аналитический.
Графический
способ состоит в том, чтобы просто
начертить данные прямые и узнать точку
пересечения непосредственно из
чертежа:
Вот
наша точка: 
.
Для проверки следует подставить её
координаты в каждое уравнение прямой,
они должны подойти и там, и там. Иными
словами, координаты точки
являются
решением системы 
.
По сути, мы рассмотрели графический
способ решения системы
линейных уравнений с
двумя уравнениями, двумя неизвестными.
Графический способ, конечно, неплох, но существует заметные минусы. Нет, дело не в том, что так решают семиклассники, дело в том, что на правильный и ТОЧНЫЙ чертёж уйдёт время. Кроме того, некоторые прямые построить не так-то просто, да и сама точка пересечения может находиться где-нибудь в тридесятом царстве за пределами тетрадного листа.
Поэтому
точку пересечения 
целесообразнее
искать аналитическим методом. Решим
систему:
Для решения системы использован метод почленного сложения уравнений. Чтобы наработать соответствующие навыки, посетите урок Как решить систему уравнений?
Ответ:
Проверка тривиальна – координаты точки пересечения должны удовлетворять каждому уравнению системы.
Пример 5
Найти
точку пересечения прямых 
в
том случае, если они пересекаются. 
Это
пример для самостоятельного решения.
Задачу удобно разбить на несколько
этапов. Анализ условия подсказывает,
что необходимо:
1) Составить уравнение
прямой 
.
2)
Составить уравнение прямой 
.
3)
Выяснить взаимное расположение
прямых
.
4)
Если прямые пересекаются, то найти точку
пересечения.
Разработка алгоритма действий типична для многих геометрических задач, и я на этом буду неоднократно заострять внимание.
Полное решение и ответ в конце урока:
Ещё не стоптана и пара башмаков, как мы подобрались ко второму разделу урока: