26.Квадратичная форма и ее матрица. Свойства квадратичных форм. Условие знакоопределенности квадратичной формы.

.Квадратичной формой называется линейная функция переменных, которая определяется как сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом: Матрица , составленная из этих коэффициентов, называется матрицей квадратичной формы. В матричной записи квадратичная форма имеет вид: ,где х- столбец переменных. Квадратичная форма называется невырожденной, если или . Рангом квадратичной формы называется ранг матрицы .Чтобы составить матрицу квадратичной формы, следует на ее диагонали поместить коэффициенты при квадратах переменных, а коэффициенты при произведениях различных переменных разделить пополам и эти «половинки» разместить симметрично главной диагонали.

Пример Дана квадратичная форма

Записать ее в матричном виде.

Решение: Найдем матрицу квадратичной формы. .

Вид матрицы квадратичной формы определяется базисом , в котором задан вектор и меняется при переходе к другому базису по формуле: ,где - матрица перехода от старого базиса к новому. Квадратичная форма называется канонической (или имеет канонический вид), если все ее коэффициенты при :а ее матрица является диагональной.

Теорема Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду.

Пример 2. Привести к каноническому виду квадратичную форму .Решение: Выделим полный квадрат при переменной , затем при : .

Переход к новым переменным: , .

приводит данную квадратичную форму к каноническому виду . Свойства квадратичной формы:1) Теорема (закон инерции квадратичных форм). Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы, приведенной к каноническому виду, не зависит от способа приведения формы к этому виду. 2) Ранг матрицы квадратичной формы равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при любых преобразованиях.

Теорема. Для того чтобы квадратичная форма была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы были положительны (отрицательны). Для установления знакоопределенности квадратичной формы применяют критерий Сильвестра. Теорема (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы этой формы были положительны, т.е. , ,…, Пример. Доказать, что квадратичная форма является положительно определенной.