5.Обратная матрица и ее вычисление

Если – квадратная матрица, то обратной для нее матрицей называется матрица, обозначаемая и удовлетворяющая условию .

Можно доказать, что матрицы и являются коммутативными: .

Теорема (об обратной матрице). Для того, чтобы квадратная матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица была невырожденной, т.е. чтобы ее определитель был отличен от нуля .

Решение: Так как , то матрица – невырожденная, и, следовательно, существует обратная ей матрица. Вычисляем алгебраические дополнения… Проверим результат умножением обратной матрицы на ту, что была первоначально-должна получиться единичная матрица

6.Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц

Рангом матрицы называется наибольший из порядков отличных от нуля миноров матрицы. Если ранг матрицы равен , то это значит, что в матрице имеется хотя бы один отличный от нуля минор порядка , но всякий

минор порядка, большего чем , равен нулю. Ранг матрицы обозначается символом

Один из миноров третьего порядка отличен от нуля:

Следовательно, ранг данной матрицы равен 3, т.е. .

Элементарные преобразования матриц. Элементарными называются следующие преобразования:

1. Умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на одно и тоже число, отличное от нуля.

2. Прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и тоже число.

3. Перемена местами строк (столбцов) матрицы.

4. Отбрасывание строк (столбцов) матрицы, все элементы которых равны нулю.

5. Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

Матрицы, получающиеся одна из другой при элементарных преобразованиях, называются эквивалентными.

Теорема. Ранги эквивалентных матриц равны.

7.Системы линейных уравнений. Основные понятия.

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если она не имеет решений. Совместная система линейных уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений. Две совместные системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. С помощью элементарных преобразований (рассмотренных для матриц), система уравнений преобразуется в систему, равносильную данной. Обозначим через матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных системы :