20.Понятие линейного(векторного) пространства.

- мерным вектором называется упорядоченная совокупность действительных чисел, записываемых в виде , где - -я компонента (координата) вектора .Линейными операциями называют операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

 - коммутативность суммы;

 - ассоциативность суммы;

 - ассоциативность относительно скаляра;

 - дистрибутивность;

 - дистрибутивность относительно суммы скаляров;

Существует нулевой вектор такой, что для любого вектора .

Для любого вектора существует противоположный вектор такой, что ;

 для любого вектора .

Множество -мерных векторов, в котором определены операции сложения векторов и их умножения на число, удовлетворяющее приведенным выше восьми свойствам, называемых аксиомами, называется векторным пространством.

21.Размерность и базис векторного пространства.

Векторное пространство называется -мерным, если в нем существует линейно независимых векторов, а любые из векторов уже являются зависимыми. Таким образом, размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Число называется размерностью пространства. Векторное пространство размерности обозначают .Совокупность из линейно независимых векторов пространства называется базисом этого пространства. Пространство может иметь несколько различных базисов.

22.Матрица перехода от одного базиса к другому. Преобразование координат вектора при изменении базиса.

Теорема . Каждый вектор можно представить единственным образом в виде линейной комбинации

векторов базиса. Если - базис пространства и , то . Это равенство называют разложением вектора по базису , а числа - координатами вектора в этом базисе.

Пусть в пространстве заданы два базиса: старый и новый . Обратный переход от нового базиса к старому базису осуществляется с помощью обратной матрицы .в матричной форме:

или .

Пример. Найти координаты вектора в базисе, образованном векторами , , .

Решение. Выразим связь между базисами:

Матрица перехода от базиса к базису имеет вид

.Найдем .

т.е. новые координаты вектора в базисе и вектор может быть представлен в виде: .

23.Евклидово пространство. Ортонормированный базис.

Скалярным произведением двух векторов и пространства называется число, определяемое по формуле: . Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

-- - коммутативность;

-- - дистрибутивность;

-- , где - любое действительное число;

-- , если ; , если .

Векторное пространство, в котором определена операция - скалярное произведение векторов, удовлетворяющая четырем вышеперечисленным свойствам, называемых аксиомами, называется евклидовым пространством. Длиной (нормой) вектора в евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата:

,

Угол между двумя векторами и определяется по формуле: ,где Нормированием вектора называется отношение: . В результате получается вектор, длина которого равна 1, а направление его совпадает с направлением вектора .Ортонормированным базисом пространства называется система векторов , которые попарно ортогональны, т.е. , а длина каждого равна единице, т.е. , .Теорема . Во всяком - мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.