13.Векторы. Линейные операции над векторами.
Вектором
называется направленный отрезок
с начальной точкой
и конечной точкой
(который можно перемещать параллельно
самому себе). Длиной
(или модулем) вектора
называется число, равное длине отрезка
,
изображающего вектор. Нуль-вектором
называется вектор, у которого конец
совпадает с началом, он обозначается:
.
Направление нуль-вектора не определено.
Векторы
и
называются коллинеарными, если они
расположены на параллельных прямых или
на одной прямой. Векторы
и
называются равными, если они имеют одно
направление и одну длину.
Линейные операции над векторами:
Линейными
называются операции сложения, вычитания
векторов и умножение вектора на число.
Суммой двух векторов
называется вектор, полученный по правилу
«треугольника»: второй вектор
откладывается так, чтобы его начало
совпало с концом первого вектора
.
-Суммой будет являться «замыкающий» вектор , начало которого совпадает с началом первого вектора , а конец – с концом второго вектора . Ту же самую сумму можно получить по правилу «параллелограмма»: второй вектор откладывается из начала первого вектора , на этих векторах строится параллелограмм и суммой в этом случае является диагональ этого параллелограмма.
Противоположным
к вектору
называется такой вектор такой что
.
-Разностью
двух векторов
называется сумма векторов
и противоположного к
:
-Произведением
вектора
на действительное число
называется вектор
,
коллинеарный вектору
,
имеющий длину
,
направление которого совпадает с
направлением вектора
,
если
,
и противоположно ему, если
.
Углом
между двумя векторами
и
называется
наименьший угол
,
на который нужно повернуть один из них
до совпадения с другим, если эти векторы
отложены из одной точки.
14.Разложение вектора на составляющие.
Проекцией
вектора
на ось
называется отрезок равный длине вектора
,
умноженной на косинус угла между вектором
и осью:
.
Рассмотрим вектор
,
начало которого имеет координаты
,
а конец –
.
Из определения проекции вектора на ось
следует, что
,
.
Поэтому координаты вектора
равны:
,
,
,
т.е.:
.
Зная
координаты вектора
можно вычислить его длину:
.Замечание:
Если вектор
определен координатами начала
и конца
,
то его длина в соответствии с формулами
равна:
.
Эта формула совпадает с формулой расстояния между двумя точками А и В.
Пример.
Найти длину отрезка
,
где
,
.
.
15.Деление отрезка в данном отношении.
Пусть
отрезок
определен своими концами
,
и задано положительное число
,
тогда координаты точки
,
делящей отрезок
в отношении
,
т.е.
,
находятся по формуле:
,
,
.
Пример
Дан треугольник
с вершинами
,
,
.
Найти длину медианы
треугольника. Координаты середины
отрезка
находим по формуле деления отрезка с
:
,
откуда
Теперь
;
16.Направляющие косинусы и длина вектора. Условие коллинеарности двух векторов
Вектор
характеризуется длиной и направлением.
Длина вектора (его модуль) вычисляется
по формуле .
Направление вектора в пространстве
можно задать углами
,
которые составляет вектор с осями
координат. Косинусы этих углов
,
и
называются направляющими
косинусами вектора и
находятся по формулам:
;
;
.
Подставляя,
получим
;
;
.
Возводя каждое из этих выражений в квадрат и складывая, получим:
.
Таким образом, среди трех углов независимыми являются только два, а третий определяется из соотношения .
Замечание. Вектор в трехмерном пространстве задается тремя скалярными величинами. Это могут быть три координаты или два угла и длина вектора и т.д. Аналогично этому вектор в двумерном пространстве определяется двумя скалярными величинами: двумя координатами или углом и длиной и т.д.
Условие коллинеарности векторов. Теорема 2 (критерий коллинеарности векторов). Для того, чтобы два вектора и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны:
или
.