24.Линейный оператор и его матрица.

Если задан закон (правило). По которому каждому вектору пространства ставится в соответствие единственный вектор пространства , то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение) , действующий из в , и записывают . При этом вектор называют образом вектора , а сам вектор - прообразом вектора . Оператор называется линейным, если для любых векторов и пространства и любого числа выполняются соотношения:

 - свойство аддитивности оператора;

 - свойство однородности оператора.

Теорема . Каждому линейному оператору -мерного пространства соответствует матрица -го порядка, и наоборот: всякой матрице -го порядка соответствует линейный оператор -мерного пространства. Связь между вектором и его образом можно выразить в матричной форме уравнением: ,

де - матрица линейного оператора, и - матрицы-столбцы из координат векторов и .Пример. Пусть в пространстве линейный оператор в базисе задан матрицей . Найти образ вектора .

Решение: По формуле



Зависимость между матрицами одного и того же оператора в разных базисах выражается теоремой.

Теорема 2. Матрицы и линейного оператора в базисах и связаны соотношением , где - матрица перехода от старого базиса к новому.

Пример 2. Матрица линейного оператора задана в базисе : . Найти ее в базисе , , .

Решение: По формуле найдем матрицу перехода от старого к новому базису: .

Найдем. .

25.Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

Вектор называется собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число , что . Число называется собственным значением оператора (матрицы ), соответствующим вектору .Из определения следует, что собственный вектор под действием линейного оператора переходит в вектор, коллинеарный самому себе, т.е. умножается на некоторое число. Равенство можно записать в матричной форме: . Уравнение называется характеристическим уравнением. Определитель является многочленом -ой степени относительно . Этот многочлен называется характеристическим многочленом оператора или матрицы .

Свойства собственных векторов: Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы.; Если собственные векторы матрицы образуют базис, то в этом базисе матрица оператора имеет диагональный вид, причем ее диагональными элементами являются собственные числа

Для нахождения собственных значений и собственных векторов оператора нужно найти все различные корни характеристического уравнения и для каждого такого корня найти линейно независимые решения системы уравнений .совокупность которых образует линейно независимую систему собственных векторов. Каждому собственному значению соответствует хотя бы один собственный вектор, так как система, определитель которой равен нулю, имеет хотя бы одно ненулевое решение.

Пример . Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей Решение: Составим характеристическое уравнение или , откуда собственные значения линейного оператора : и .

Находим собственный вектор , соответствующий собственному значению , используя формулу или ,откуда получаем систему: Из системы имеем . Положив , получим, что векторы при любом являются собственными векторами линейного оператора с собственным значением . Аналогично находится собственный вектор , соответствующий собственному значению :

Отсюда имеем . Положив , получим, что векторы при любом являются собственными векторами линейного оператора с собственным значением .