1.Матрицы, действия над матрицами. Свойства действий.

Прямоугольная таблица составленная из чисел , называется матрицей размером Числа называются элементами матрицы. Горизонтальный ряд чисел называется строкой, а вертикальный – столбцом матрицы. Первый индекс – номер строки, второй – номер столбца .Матрицу принято обозначать заглавными буквами: A, B. Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов ( ), называется прямоугольной Матрица, в которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Причем число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. Последовательность элементов квадратной матрицы с одинаковыми индексами ( ) называется главной диагональю матрицы. Если в квадратной матрице все недиагональные элементы равны нулю , то матрица называется диагональной. Квадратная диагональная матрица, у которой элементы главной диагонали равны единице, называется единичной матрицей E. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нуль-матрицей. Матрица, состоящая только из одной строки, называется матрицей-строкой. Матрица, состоящая только из одного столбца, называется матрицей-столбцом. Матрица называется транспонированной по отношению к матрице A, если она получена из матрицы A заменой строк этой матрицы ее.

Действия над матрицами: - Суммой двух матриц A и B одинакового размера ( ) называется матрица C того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц A и B.Свойства сложения матриц:

– коммутативность; – ассоциативность.

- Произведением матрицы A на матрицу B называется матрица C=A*B.Матрицы A и B, для которых , называются коммутативными. Произведение двух не нулевых матриц может оказаться равным нуль-матрице. Получается матрица, содержащая столько строк, сколько их имеет первая матрица, и столько столбцов, сколько их имеет вторая матрица Свойства умножения матриц:

– ассоциативность; – дистрибутивность.

2.Определители второго порядка. Алгебраические дополнения и миноры.

Определителем (или детерминантом) второго порядка, называется число, определяемое по формуле: .

Понятие определителя только для квадратных матриц

Числа называются элементами определителя.

Минором элемента матрицы А, называется определитель матрицы, полученной из исходной вычеркиванием -ой строки и -ого столбца.

Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его минор, взятый со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца, в которых стоит этот элемент, четна, и со знаком минус, если эта сумма нечетна .

3.Определители третьего порядка. Вычисление по правилу треугольника.

Определителем (или детерминантом) n-го порядка, называют число, получаемое из элементов матрицы по определенному закону – закону раскрытия определителя. Метод треугольника:

= * * + * * + * * - * * - * * - * *

4.Определитель п-ого порядка, его свойства. Вычисление определителя разложением по строке(столбцу)

Определителем (или детерминантом) n-го порядка, называют число, получаемое из элементов матрицы по определенному закону – закону раскрытия определителя:

Определитель n-го порядка равен сумме попарных произведений элементов какой либо его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Таким образом, любой определитель n-го порядка сводится к сумме n определителей n-1-го порядка. Вычислить определитель третьего порядка:

.

Решение: раскроем определитель по элементам второй строки: .

Свойства определителей:

-Если все элементы какой-либо строки (или столбца) матрицы равны нулю, то определитель равен нулю.

-Если все элементы какой-либо строки (или столбца) матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число .

-Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами, т.е.

-При перестановке двух строк (или столбцов) матрицы ее определитель изменит знак на противоположный.

-Определитель с двумя одинаковыми строками (или столбцами) равен нулю.

-Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю.

-Если к элементам какой-либо строки (или столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится.