22. Алгоритм метода резолюций для проверки невыполнимости множества дизъюнктов в логике высказываний

Резольвента – разрешающее уравнение, разрешающая функция, разрешающие операторы.

Правилом резолюций в логике предикатов называется правило из дизъюнктов ¬P(t₁, … , t_n) F и P(s₁, … , s_n) G, выводим дизъюнкт (F) (G), где – наибольший общий унификатор множества {P(t₁, … , t_n); P(s₁, … , s_n)}.

Дизъюнкт (F) (G) называется бинарной резольвентой первых двух дизъюнктов, а литералы ¬P(t₁, … , t_n) и P(s₁, … , s_n) – отрезаемыми литералами.

Пример: Из дизъюнктов ¬Q(a, f(x)) R(x) и Q(u, z) ¬P(z)

можно выделить дизъюнкт – бинарную резольвенту исходных дизъюнктов

R(x) ¬P(f(x))

используя подстановку = {u = a; z = f(x)}.

Правилом склейки в логике предикатов называется правило из дизъюнкта ◊P(t₁, … , t_n) … ◊P(s₁, … , s_n) F выводим дизъюнкт = (P(t₁, … , t_n)) (F),

где - наиболее общий унификатор множества {P(t₁, … , t_n), … , P(s₁, … , s_n)},

◊ - знак отрицания или его отсутствие.

Дизъюнкт = (P(t₁, … , t_n)) (F) называется склейкой первого дизъюнкта.

Пример: Правило склейки, применённое к дизъюнкту:

¬P(x, y) ¬P(y, x) ¬P(a, a) Q(x, y, v)

даёт дизъюнкт ¬P(a, a) Q(a, a, v)

¬P(x, y) ¬P(y, x) ¬P(a, a) Q(x, y, v)

= {x = a, y = a} – НОУ

(¬P(x, y)) = ¬P(a, a);

(Q(x, y, v)) = Q(a, a, v).

Резольвентой дизъюнктов D₁ и D₂ называется одна из следующих бинарных резольвент:

- бинарная резольвента дизъюнктов D₁ и D₂;

- бинарная резольвента склейки D₁ и дизъюнкта D₂;

- бинарная резольвента дизъюнкта D₁ и склейки D₂;

- бинарная резольвента склейки D₁ и склейки D₂.

Определение вывода в логике предикатов

Пусть S – множество дизъюнктов. Выводом из множества дизъюнктов S называется последовательность дизъюнктов D₁, D₂, … , D_n, такая, что каждый дизъюнкт D_i принадлежит S, выводим из предыдущих дизъюнктов по правилу резолюций или выводим из предыдущего по правилу склейки.

Пример: S = {¬ B(x) ¬ C(x) T(f(x)), C(y) T(f(z)), B(a)}

Вывод из S – последовательность дизъюнктов:

D₁ = ¬ B(x) C(x) T(f(x)) - S

D₂ = C(y) T(f(z)) - S

D₃ = ¬ B(x) T(f(x)) T(f(z)) – из D₁ и D₂ по правилу резолюций

D₄ = ¬ B(x) T(f(x)) – из D₃ по правилу склейки

D₅ = B(a) S

D₆ = T(f(a)) из D₄ и D₅ по правилу резолюций

Пример вывода по правилу резолюций

D₁ = ¬ B(x) (¬ C(x)) T(f(x)) - S

D₂ = C(y) T(f(z)) - S

= {y = x}

D₃ = ¬ B(x) T(f(x)) T(f(z)) – из D₁ и D₂ по правилу резолюций

Пример: по правилу склейки

D₃ = ¬ B(x) T(f(x)) T(f(z))

= {z = x}

D₄ = ¬ B(x) T(f(x)) из D₃ по правилу склейки

Теорема о полноте: Множество дизъюнктов S логики первого порядка невыполнимо тогда и только тогда, когда из S выводим пустой дизъюнкт ( ).

Имеется множество гипотез (формул) {F₁ , … , F_k}. Доказать, что формула G – логическое заключения множества гипотез. {F₁, … , F_k} G

Для доказательства этого также применяется метод резолюций.

22. Алгоритм применения метода резолюций в логике предикатов 1-го порядка

1. Составим множество формул ;

2. Каждую из формул множества T приводим к ПНФ, затем к СНФ, в полученных формулах вычёркиваются кванторы общности и связки конъюнкции . Получаем множество дизъюнктов S;

3. Находим вывод пустого дизъюнкта □ из множества S. Все переменные в дизъюнктах предполагаются связанными кванторами общности.

Пример:

Дано:

Доказать, что

Доказательство:

1. Достаточно доказать, что – невыполнимо;

2. Каждую формулу приведём к СНФ:

3. Вывод из

Последовательность дизъюнктов:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

Множество S невыполнимо, следовательно, формула G является логическим следствием формул F₁ и F₂.