22. Исчисление предикатов 1-го порядка как формальная система

1. Базовые элементы (алфавит) (Т):

• счетное множество предметных переменных Х: х1,х2,х3,…, xn,… ;

• конечное (может быть и пустое) или счетное множество предметных констант А: а1,а2,а3,…,an,… ;

• конечное (может быть и пустое) множество функциональных букв F: f11,f22,…,flk,… ;

• непустое конечное или счетное множество предикатных букв Р: р11,р22,…,рlk… ;

• символы исчисления высказываний: ,→,¬,↔;

• скобки () и запятые;

• символы , .

2. Синтаксические правила S (простые формулы или продукционные формулы).

1. всякий атом есть ППФ;

2. если А и В – ППФ и х - предметная переменная, то каждое из выражений ¬А, А→В, А↔В, А В, А В, что ( x)A, ( x)A есть ППФ (правильно построенная формула или препозиционная формула).

Из элементов алфавита образуются элементы 3 типов:

• термы;

• атомы;

• формулы.

Правила образования терм:

• всякая предметная переменная является термом;

• всякая предметная константа является термом.

Правила образования атомов:

Если P – n-местный предикатный символ, t1,..,t2 - термы, то P(t1,..,t2) –атом (атомарная или простая формула).

Правила образования формул:

• атом есть формула;

• если А и В формулы то (А→В), (А↔В), (А В), (А В), что ( x)(A), ( x)(A) формулы, причем все переменные в этих формулах свободные;

• если А - формула, а x - свободная переменная в А, то ( x)(A) и ( x)(A)-формулы.

3. Аксиомы.

Аксиомы исчисления высказываний.

(A1) (a a)→a - закон сокращения;

(A2) (a→(a b)) - закон расширения;

(A3) ((a b) → (b a)) - закон коммутативности;

(A4) ((a→b)→((c→a)→(c→b))) - закон транзитивности.

Добавляются еще 2:

(A5) xA(x) →A(t) , где А(х) есть ППФ и t –терм свободный для x в A(x).

(A6) A(t)→ xA(x), где А(х) есть ППФ и t –терм свободный для x в A(x).

4. Правила вывода:

1. все аксиомы выводимы;

2. правило подстановки.

Это правило аналогично правилу подстановки, которое имеет место для исчисления высказываний. Только в данном случае мы будем иметь дело с такими подстановками термов t1,t2,…,tn вместо x1,x2,…,xk в A[x1,x2,…,xk]..

3. правило Modus Ponens;

4. правило обобщения (правила связывания квантором общности).

Если ППФ B→A(x) при условии, что B не содержит свободных вхождений х, выводима;

5. правило конкретизации (связывание квантором существования).

Если ППФ A(x)→B выводится ППФ (теорема) и В не содержит свободных вхождений х, то xA(x)→B также теорема;

6. если А - теорема, имеющая квантор и/или квантор , то одна связанная переменная в А может быть заменена другой связанной переменой, отличной от всех свободных переменных, одновременно во всех областях действия квантора, и в самом кванторе. Полученная ППФ также является теоремой.

22. Логические эквивалентные преобразования в исчислении предикатов 1-го порядка. Алгоритм приведения к снф

В отличии от исчислений высказываний, в логике предикатов не существует детерминированного алгоритма, который определял бы к какому классу принадлежит произвольная формула исчисления предикатов.

Переменные, находящиеся в сфере действия кванторов называются связанными, остальные – свободными.

Сколемовская нормальная форма (СНФ)

Опр. Формула G имеет СНФ, если G = ( x)…( x_n) H,

где формула Н не содержит кванторов и имеет КНФ (конъюктивную нормальную форму).

Теорема: Для всякой формулы F существует формула G, имеющая СНФ и одновременно выполнимая (или невыполнимая) с F.

Алгоритм приведения к СНФ:

1. Привод к ПНФ

2. Привести матрицу Н к ПНФ

3. Исключить кванторы

1. Если левее квантора (существования) нет квантора (всеобщности), то переменную, связанную этим квантором заменяем не встречающейся в формуле константой, а квантификацию отбрасываем. х(Р(х)) Р(а)

2. Если левее квантора находятся n кванторов , то переменная, связанная этим квантором заменяется на n-местный функциональный символ, зависящий от переменных, связанных этими кванторами , а сама квантификация отбрасывается.

Ех: после 2го шага имеем:

F = ( x) ( y) ( z) ( u) ( v) H (x, y, z, u, v)

предположим, что формула не содержит константы с, символов одноместной функции f и двухместной функции g.

Тогда в формуле Н заменим:

х – на с

z – на f(y)

v – на g(y,u)

F = ( x) ( y) ( z) ( u) ( v) H (x, y, z, u, v)

тогда G = ( y) ( u) H (c, y, f(y), u, g(y, u))

Ех: привести функцию к СНФ

F = ( x) ( y) [P(x, y) ( z) (Q(x, z)) R(y))]

Применяя законы:

A B ¬ A B;

(A Q x B) Q x (A B), если A не содержит x, получаем формулу:

F₁ = ( x) ( y) ( z) [¬ P(x, y) (Q(x, z) R(y))]

которая имеет ПНФ

приводим к КНФ

F₂ = ( x) ( y) ( z) [(¬ P(x, y) Q(x, z)) (¬ P(x, y) R(y))]

сделаем подстановку x = a, z = f(y), получим

G = ( y) [¬ P(a, y) Q(a, f(y))) (¬ P(a, y) R(y))]