Нормальные формы в логике высказываний. Алгоритм преобразования формулы в дизъюнктивную нормальную форму (днф)
Литерал – атомарная формула (кроме логических 1 и 0) или ее отрицание.
Элементарной конъюнкцией называется литерал или конъюнкция литералов.
Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)
Формула G имеет дизъюнктивную нормальную форму, если она является элементарной конъюнкцией или дизъюнкцией элементарных конъюнкций.
Например,
(X
Y)
(
X
Z).
Теорема: Для всякой формулы F существует формула G, равносильная F и имеющая ДНФ.
Алгоритм приведения к ДНФ
Исключить из исходной формулы эквиваленцию ( ) и импликацию ( ).
F G = F G; F G = (F G) (G F)
Занести отрицание к атомарным формулам с помощью следующих законов:
(F
G)
=
F
G;
(F
G)
=
F
G;
F
= F
Если формула содержит подформулу вида Н1 (Н2 Н3), то заменить на равносильную (Н1 Н2) (Н1 Н3) по закону дистрибутивности.
19. Нормальные формы в логике высказываний. Алгоритм преобразования формулы в конъюнктивную нормальную форму (кнф)
Литерал – атомарная формула (кроме логических 1 и 0) или ее отрицание.
Элементарной дизъюнкцией (дизъюнктом) называется литерал или дизъюнкция литералов.
Конъюнктивная нормальная форма (КНФ)
Формула G имеет конъюнктивную нормальную форму, если она является элементарной дизъюнкцией или конъюнкцией элементарных дизъюнкций.
Например, (X
Y)
(X
Z).
Теорема: Для всякой формулы F существует формула G, равносильная F и имеющая КНФ.
Алгоритм приведения к КНФ.
Исключить из исходной формулы эквиваленцию ( ) и импликацию ( ).
F G = F G; F G = (F G) (G F)
Занести отрицание к атомарным формулам с помощью следующих законов:
(F G) = F G; (F G) = F G; F = F
Если формула содержит подформулу вида Н1 (Н2 Н3), то заменить на равносильную (Н1 Н2) (Н1 Н3) по закону дистрибутивности.
20. Нормальные формы в логике высказываний. Алгоритм преобразования в сднф
Формула F имеет совершенную ДНФ (СДНФ) относительно атомарных формул X1..Xn если выполняется следующее условие:
F=F(Х1..Хn) то есть в записи формулы участвуют только X1..Xn;
F имеет ДНФ, то есть
F=C1 C2 … Ck, где C1, C2, …, Ck – элементарные конъюнкции;
Каждая элементарная конъюнкция содержит один и только один из литералов Xi или ¬Хi для любой i=1..n;
F не содержит одинаковых элементарных конъюнкций.
Теорема: для любой выполняемой формулы F существует равносильная ей формула G имеющая СДНФ
Алгоритм приведения к СДНФ
1-3 шаги взяты из ДНФ.
Исключить из исходной функции эквиваленцию ( ) и импликацию ( ).
F G = F G; F G = (F G) (G F)
Занести отрицание к атомам формул с помощью следующих законов:
(F G) = F G; (F G) = F G - закон де Моргана;
¬¬ F=F – закон двойного отрицания.
Если формула содержит подформулу вида Н1 (Н2 Н3), то заменить на равносильную (Н1 Н2) (Н1 Н3) по закону дистрибутивности.
Если элементарная конъюнкция С не содержит атомарной формулы Xi, ни ее отрицания для некоторого i=1..n, то заменим С на две элементарные конъюнкции (C Xi) (C ¬Xi)
Если элементарная конъюнкция С содержит два вхождения одного литерала, то один из них вычеркиваем. Если С содержит Xi и ¬Xi для некоторого i=1,..,n то вычеркиваем всю элементарную конъюнкцию.
Если формула содержит одинаковые элементарные конъюнкции, то вычеркиваем одну из них.
Пример: F= ¬(X↔Y) X
1-3 шаг:
F3=(X
¬Y
X)
(Y
¬X
X)
– ДНФ, но не СДНФ (см. условие 5).
Шаг 5: F4=(X ¬Y) - СДНФ относительно X и Y