Исчисление высказываний. Интерпретация и свойства высказываний
Высказывание – это логическое выражение, относительно которого всегда можно утверждать, что оно либо истинно, либо ложно.
Исчисление высказываний (пропозициональное исчисление) – это формальная система, базовыми элементами которой являются высказывания. Исчисление высказываний изучает связи между ними (дизъюнкции, конъюнкции и т. д.).
Интерпретация и свойства высказываний
Виды интерпретации:
внутренняя (логическая) – осуществляется с помощью таблиц истинности.
внешняя (физическая) – связана с трактовкой формул на естественном языке.
Буквы в этом случае соответствуют элементарным утверждениям, а связки допускают следующие варианты интерпретации:
(a→b) – если a, то b; в случае а имеет место b; для b необходимо а;
(a
b)
– a
и b;
не только а,
но и b;
b
несмотря на а;
а
вместе с b;(a
b)
– а
или b;
a
или b
или вместе;
а
– не а;
а
не имеет места; а
неверно.
Индукция – метод перехода от частных наблюдений к общей закономерности, которой удовлетворяют все частные наблюдения.
Исчисление высказываний как формальная система
Высказывание – это логическое выражение, относительно которого всегда можно утверждать, что оно либо истинно, либо ложно.
Исчисление высказываний (пропозициональное исчисление) – это формальная система, базовыми элементами которой являются высказывания. Исчисление высказываний изучает связи между ними (дизъюнкции, конъюнкции и т. д.).
Базовые элементы (алфавит) Т:
пропозициональные буквы a, b, c, …, A, B, C, … с индексами и без них;
логические операторы и пропозициональные связки (
);скобки.
Зависимость значения истинности новых высказываний определяется таблицей истинности.
X |
Y |
X Y |
X Y |
X |
X |
X |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
Y
YСинтаксические правила S:
любая пропозициональная буква является формулой;
если а есть формула, то и (а) также является формулой;
если а есть формула, то и отрицание а также является формулой;
если а и b являются формулами, то и выражения (a b, a b, a b) также являются формулами.
Аксиомы А:
Существует несколько систем аксиом.
Система аксиом Гильберта:
(А1) ((а а) а) – закон сокращения;
(А2) (а (а b)) – закон расширения;
(А3) ((a b) (b a)) – закон коммутативности.
Правила вывода B.
Правило «modus ponens» (правило отделения):
Если а и (а b) являются теоремами, то b есть следствие а, т.е. выводимо из а.
(а) и (a b) b
Если истинно утверждение а и истинно, что а следует из b, то истинно b.
Правило подстановки:
Букву можно заменять формулой (для всех вхождений).
В исчислении высказываний выводимая формула называется теоремой.
Доказательством теоремы называется конечный список формул b1, …, bn, где bn – сама теорема и каждая формула в данном списке является либо аксиомой, либо получена с помощью правил вывода из некоторых формул, предшествующих ей в данном списке.