Прямая в пространстве

Прямая в пространстве может быть задана:

1. Прямая в пространстве задается системой двух уравнений первой степени относительно текущих координат:

- это общее уравнение прямой в пространстве

Направляющий вектор прямой, т.е. вектор, параллельный прямой, находится по формуле

.

Здесь , – нормальные векторы плоскостей, пересекающихся по данной прямой.

2. Канонические уравнения прямой в пространстве

– это уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору ; – направляющий вектор прямой.

Если, в частности, , то уравнения прямой запишутся так:

или

3. Уравнение прямой, походящей через две заданные точки М₁(x₁, y₁, z₁), М₂(x₂, y₂, z₂) имеет вид:

4. Параметрическое уравнение прямой:

где x₀, y₀, z₀ координаты данной точки, а m, n, p – координаты направляющего вектора прямой , т.е. вектора параллельного данной прямой.

Взаимное расположение плоскостей и прямых в пространстве

Угол между прямыми в пространстве находится как угол между направляющими векторами этих прямых , :

.

Угол между прямой и плоскостью определяется формулой

,

где – нормальный вектор плоскости,

– направляющий вектор прямой.

Угол между плоскостями находится по формуле:

Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой.

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей:

Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:

.

Плоскости параллельны, если векторы нормалей коллинеарны:  . Это условие выполняется, если: .

Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.

Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю.

Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарны. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.

Расстояние от произвольной точки М₀(х₀, у₀, z₀) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно: