Представление системы.

Даная система является Марковской системой СМО, так как данная система подходит под определение Марковской системы СМО.

Данная система является многоканальной СМО с ожиданием.

Граф переходов:

Система дифференциальных уравнений состояний:

Запишем систему уравнений установившегося режима:

Отсюда имеем:

Выражение P₀ получим, учитывая, что , тогда

Подставим и получим:

- среднее число занятых заправщиков;

- среднее время простоя дозаправщиков;

- вероятность того, что самолет будет дозаправлен;

Задача

На АЗС имеется 4 колонки. Заправка одной машины длится в среднем 3 мин. В среднем на АЗС каждую минуту прибывает новая машина. Определить: среднее время, проходящее с момента пребывания машины на заправку до заправки; среднее число занятых колонок.

Аналитическое решение

Это задача о многоканальной Системе Массового Обслуживания с ожиданием.

Введем обозначения:

λ = 1 - это интенсивность входного потока;

t_об = 3 - это время обслуживания одной колонкой одного автомобиля;

μ = 1 / t_об - среднее число заявок обслуживаемых узлом за единицу времени;

S =4 - количество колонок;

 - среднее число занятых колонок;

- среднее время пребывания заявки в системе.

Изобразим соответствующий граф переходов:

Так как заявки обрабатываются независимо друг от друга, то суммарное время, затраченное одинаковыми приборами, имеющими интенсивность обслуживания , на обработку заявок, будет таким же, как и время при котором обслуживание производилось бы одним прибором, то есть . Однако общее «рабочее» время приборов за время составит величину . Тогда полное «рабочее» время приборов за вычетом времени, затраченного на обслуживание заявок, даст время простоя обслуживающих устройств . Таким образом, можно считать, что в системе в среднем имеется занятых приборов.

Вычислим μ : μ = 1 / t_об = 1 / 3 =0.3(3)

Вычислим  :  = λ / μ = 1 / (1/3) = 3

Таким образом, среднее число занятых колонок есть 3.

, где - среднее число занятых колонок.

Таким образом, среднее время, проходящее с момента пребывания машины на заправку до заправки занятых колонок есть 3.