Аналитическое решение.

1. Вероятность того, что абонент не застанет АТС занятой (в системе находятся 6 и менее заявок):

2. Вероятность занятости канала:

3. Среднее число занятых каналов:

Задача Бункер

Дано:

=4 заготовки/минуту

t_ср=10сек

Условная схема СМО:

Граф переходов:

Е₀ - нет заявок

Е₁- заявка находится на обслуживании

Е₂ – 1 заявка в очереди

Е₃ – 2 заявка в очереди

Е₄ – 3 заявка в очереди

Е₅ – 4 заявка в очереди

Система уравнений:

Система уравнений состояний:

Решение:

=(60/10)=6 заготовок/минуту -

1) коэффициент загруженности системы

 = (/)=2/3

2) вероятности всех состояний

Решим систему уравнений:

Получим решение:

2) Среднее число заявок в системе

3) Среднее число заявок в очереди

4) Среднее время пребывания заявки в системе

Задача

Двое рабочих обслуживают группу из 5(6) станков. Остановка каждого станка происходит в среднем каждые 20(30) мин. Время наладки одним рабочим одного станка составляет 10 мин. Определить: среднее количество простаивающих станков ; среднюю занятость рабочих ; среднее время простоя станка .

Аналитическое решение.

л = 1/30 = 0,033

Интенсивность поломки n-1 оборудования равна

- интенсивность обслуживания

Составим систему уравнений:

m=0.1

l=0.03

-5*l*p0+m*p1=0

-(4*l+m)*p1+5*l*p0+2*m*p2=0

-(3*l+2*m)*p2+4*l*p1+3*m*p3=0

-(2*l+3*m)*p3+3*l*p2+4*m*p4=0

-(l+3*m)*p4+2*l*p3+3*m*p5=0

-3*m*p5+l*p4=0

p0+p1+p2+p3+p4+p5=1

-5

P0= 0.1485

P1= 0.3711

P2= 0.3711

P3= 0.1856

P4= 0.0619

P5= 0.0103

Система алгебраических уравнений, описывающих работу замкнутой СМО в стационарном режиме, выглядит следующим образом:  ;

 , 0<k<R;

 , R<=k<N;

 .

Решая данную систему, находим вероятность k-го состояния:

 , 1<=k<R,

 , R<=k<=N.

Величина  определяется из условия   .

Определим следующие вероятностные характеристики СМО: 1) среднее число требований в очереди на обслуживание:  ;

L_q=0,3404

2) среднее число требований, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди)

 ;

L_s=1,9177;

3) среднее число каналов, простаивающих из-за отсутствия работы

 ;

R_pr=0,6681

4) коэффициент простоя обслуживаемо объекта в очереди

 ;

a₁=0,93194

5) коэффициент использования объектов

 ;

a₂=0,61646;

6) коэффициент простоя обслуживающих каналов

 ;

a₃=0,34405

7) среднее время ожидания обслуживания ( время ожидания обслуживания в очереди)

 .

W_q=2,44;

Среднее количество простаивающих устройств: 0,3403;

Среднее время простоя: 10+2,4=12,44;

Коэффициент занятости первого рабочего: 0,61646

Коэффициент занятости второго рабочего: 0,33405;

Задача

Двое рабочих обслуживают группу из 6 станков. Остановка каждого станка происходит в среднем каждые 30 мин. Время наладки одним рабочим одного станка составляет 10 мин. Определить: среднее количество простаивающих станков ; среднюю занятость рабочих ; среднее время простоя станка .