10. Яким чином використовується трансформація моделі з метою усунення гетероскедастичності?

Розглянемо питання усунення гетероскедастичності трансформуванням початкової моделі.

Припустимо. що за статистичними даними побудовано початкову регресійну модель

і на базі будь-якого тесту встановлено наявність гетероскедастичності.

Трансформація моделі зводиться до зміни початкової форми моделі методом, який залежить від специфічної форми гетероскедастичності. тобто від форми залежності між дисперсіями залишків і значеннями незалежних змінних

.

Приклад. Нехай початкова модель має вигляд

.

Припустимо, що гетероскедастичність має форму

,

де (тобто дисперсія залишків зростає пропорційно до ).

Із припущення випливає, що .

Це означає, що допустима трансформація полягає в діленні початкової моделі на .

Отже, трансформована модель має вигляд

.

Розглянемо

.

Отже, для трансформованої моделі випадкова величина гомоскедастична зі сталою дисперсією . Це означає, що, виконавши зазначене вище перетворення, ми виключили гетероскедастичність.

Загальний випадок.

Припустимо, що гетероскедастичність має форму:

.

Трансформація початкової моделі здійснюється діленням іі на .

Зазначимо, що така трансформація еквівалентна застосуванню зваженого методу найменших квадратів (ЗМНК), який є особливим випадком узагальненого методу найменших квадратів (УМНК). Суть ЗМНК полягає в мінімізації зваженої суми квадратичних відхилень:

.

ЗМНК, застосований до початкової моделі дає такі ж результати, що і застосування МНК до трансформованої моделі.

Оцінки трансформованої модлеі мають меншу дисперсію (ефективніші) ніж оцінки, отримані із застосуванням МНК до початкової моделі.

Також потрібно пам’ятати, що гетероскедастичність може існувати за рахунок неврахованих в моделі факторів. У цьому разі можливим рішенням є їх включення. Застосування трансформації без аналізу причин гетероскедастичності зробить гомоскедастичною випадкову змінну , однак оцінки параметрів можуть залишитися неправильними.

11. Запишіть формулу обчислення матриці коваріацій параметрів моделі. Чим вона відрізняється від формули при застосуванні 1мнк?

Діагональні елементи цієї матриці є дисперсіями оцінок параметрів моделі, інші елементи характеризують коваріацію між оцінками.

12. Як дістати незміщену оцінку дисперсії залишків за наявності гетероскедастичності?

У випадку гетероскедастичності у принципі неможливо використовувати звичайні формули для знаходження оцінок дисперсії параметрів моделі, оскільки дисперсія залишків в умовах гетероскедастичності не є сталим числом, а змінюється із зростанням значень незалежних змінних х. Внаслідок цього разом із зміною значення незалежних змінних х буде змінюватися і дисперсія оцінок параметрів .

Оцінки параметрів моделі, отримані 1МНК в умовах гетероскедастичності будуть незміщеними, обґрунтованими, але неефективними, тобто вони будуть мати велику дисперсію, внаслідок чого вони не-будуть BLUE – оцінками (best linear unbiased estimator – найкраща лінійна оцінка без відхилень).. Використання таких оцінок призводить до наступних негативних наслідків :

• збільшення інтервалів довіри параметрів;

• помилки при використані t-тестів і F-тестів ;

• неефективність прогнозів, тобто отримання прогнозів з дуже великим інтервалом довіри

Зрозуміло, що гетероскедастичність є серйозною проблемою, тому необхідно вміти її виявляти і робити оцінювання параметрів іншими методами.

Оцінки (19) , отримані методом Ейткена, є BLUE – оцінками і мають дисперсійно - коваріаційну матрицю

( 22 )

Незміщена оцінка дисперсії залишків визначається для цього випадку наступним чином:

, ( 23 )

де e – вектор залишків моделі, параметри якої обчислені за 1 МНК.

Таким чином у випадку гетероскедастичності, якщо відома матриця S, оцінки параметрів узагальненої моделі можна визначити методом Ейткена (УМНК) за формулою ( 19 ), оцінку дисперсії залишків за формулою (23), а оцінки дисперсій параметрів моделі – з дисперсійно-коваріаційної матриці ( 22 ). Це дає можливість у подальшому застосувати t – статистику для перевірки статистичної значимості параметрів моделі і побудови інтервалів довіри для них.

Що стосується перевірки загальної статистичної значимості моделі , то це можна зробити на основі відомих сум квадратів, розглянутих раніше у дисперсійному аналізі загальної лінійної економетричної моделі. Коли параметри економетричної моделі оцінюються за УМНК дисперсійний аналіз дає наступні суми квадратів :

, ( 24 )

, ( 25 )

, ( 26 )

де : B – вектор оцінок параметрів моделі, отриманих узагальненим методом найменших квадратів (УМНК), e – вектор залишків моделі, параметри якої обчислені за 1 МНК , Y – вектор спостережень за залежною змінною моделі, X - матриця спостережень за пояснюючими змінними моделі, S – матриця ( 11 ).

Використовуючи зазначені суми квадратів можна визначити множений (або парний) коефіцієнт детермінації, множинний (або парний) коефіцієнт кореляції і перевірити побудовану модель за F – критерієм на статистичну значимість у цілому.