7. Ко́мпле́ксні чи́сла, — розширення поля дійсних чисел, зазвичай позначається . Будь-яке комплексне число може бути представлене, як формальна сума , де і — дійсні числа, — уявна одиниця[1].

Арифметичні дії виконуються аналогічно до дій з многочленами, але з урахуванням рівності  . Нехай   та   — комплексні числа. Тоді:

8. Комплексне число можна ототожнити з точкою площини:

• в декартовій системі координат точка описується парою координат   чи   (алгебраїчна форма комплексного числа).

• в полярній системі координат точка описується довжиною вектора   (від початку координат до даної точки) та кутом   між віссюабсцис та даним вектором (тригонометрична форма комплексного числа).

Для переходу від однієї форми запису комплексного числа до іншої користуються формулою:

,

де   і   — дійсні числа, причому   додатне. У такій формі можна подати довільне комплексне число, відмінне від 0.

 (називається модулем числа  ) — це відстань між точкою   та початком координат.

 (називається аргументом числа  ) — кут (виражений у радіанах) між правою піввіссю осі абсцис і вищезгаданим вектором, причому кут відраховується проти годинникової стрілки (а в разі руху за стрілкою годинника береться зі знаком «мінус»).

,

,

,

Формула Муавра — формула, за якою для будь-якого комплексного числа   та будь-якого цілого числа   виконується рівність:

9. Невизначений інтеграл для функції   - Це сукупність всіх первісних даної функції.

Якщо функція   визначена і неперервна на проміжку   і   - Її первообразная, тобто   при   , То

 ,

де С - довільна стала.

Якщо   , То і   , Де u = φ (x) - Довільна функція, що має безперервну похідну

 Таблиця основних невизначених інтегралів

Похідна невизначеного інтегралу рівна підінтегральній функції; диференціал

невизначеного інтегралу рівний підінтегральному виразу

( \f(x)dx)'=f(x); d \f(x)dx=f[x)dx.

2.         Невизначений інтеграл від диференціалу функції рівний цій функції:

<iF(x) =F(x)+C.

3.         Постійний множник можна винести за знак інтегралу:

\Af(x)dx = A \f(x)dx ■

4.         Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми функції рівний такій самій

алгебраїчній сумі невизначених інтегралів від кожної функції:

[(/і(х) + f2{x))dx= \fi(x)dx + \f2(x)cbc.

5.         Якщо функціяF(x) єпервісною ддя/(х), декіЬ довільні числа (кФ 0), то

F(kx + b)

С.

к

\f(kx + b)dx

Для доведення властивостей 1-5 достатньо знайти похідні обох частин рівності. Наприклад, доведемо властивість 4:

|(/1(x)±/2(x)VxJ=/1(x)±/2(.

10. Похідна́ — основне поняття диференційного числення, що характеризує швидкість зміни функції. Визначається як границявідношення приросту функції до приросту її аргументу коли приріст аргументу прямує до нуля (якщо така границя існує). Функцію, що має скінченну похідну, називають диференційовною.

Геометричний зміст похідної[ред.]

Значення похідної   функції   у точці   дорівнює значенню кутового кофіціента дотичної до кривої   у точці з абсцисою  .

Рівняння дотичної до кривої   у точці M( ) має вигляд:

y=f́(x)=tga

11. Зада́ча ліні́йного програмува́ння — задача оптимізації з лінійною цільовою функцією та допустимою множиною обмеженою лінійними рівностями або нерівностями.

Тобто, необхідно мінімізувати

 (1)

при обмеженнях

, (2)

, (3)

, (4)

де c_j (j = 1, …, n), a_ij(i = 1, …, m) — задані числа.

Задача максимізації функції (1) зводиться до задачі мінімізації шляхом заміни знаків всіх коефіціентів c_j на протилежні

Канонічна форма - така форма, що однозначно репрезентує об'єкт. Її часто плутають зі схожим поняттям нормальна форма. В булевій алгебрі деяка булева функція може бути виражена у канонічному вигляді з використанням мінтермів або макстермів. Мінтерми і макстерми є взаємозамінними, що можна показати за допомогою законів де Моргана, які стверджують, що (x˄y˄z˄...)=(¬x˅¬y˅¬z˅...), або навпаки (x˅y˅z˅...)=(¬x˄¬y˄¬z...), де знак "¬" позначає логічне ні, "∨" — логічне або, "∧" — логічне і. Ця властивість називається двоїстістю булевих функцій, тобто будь-яку булеву функцію можна виразити за допомогою двох операцій (˅,¬) або (˄,¬). Отже, канонічна форма є сумою мінтермів, або макстермів булевої функції.

12. В комбінаториці, розміщенням із n елементів по m, або впорядкованою (n, m) вибіркою із множини M (потужність n, m≤n) називають довільний кортеж   що складається із m попарно відмінних елементів. Розміщення можна розглядати як різнозначну функцію f:  , для якої  .

Кількість розміщень із n по m позначається як   або   і обчислюється за наступною формулою:

13. Перестановкою скінченної множини   називається довільна бієктивна функція  . Всього існує   (факторіал) різних перестановок, де   (потужність множини (кількість елементів в ній) ).

Алгоритм отримання всіх перестановок [ред.]

Наведенний нижче алгоритм дозволяє послідовно отримати всі перестановки скінченної множини. Для зручності будемо вважати, що елементами множини є числа від 1 до n, що записані у масив A.

1. Спочатку   (В масиві записана тотожна перестановка)

2. Проглядаючи елементи з кінця масиву, знаходимо найбільше   таке, що  . Якщо такого не має, то завершуємо роботу.

3. Знаходимо максимальне   таке, що 

4. Міняємо місцями  -й і  -й елементи: 

5. Перегортаємо частину масиву з  -го по останній ( -й) індекси включно:

6. Отримана нова перестановка. Повертаємося до п.2.

Запис у два рядки [ред.]

Запис   означає, що   — перестановка множини   і   (кожне число у верхньому рядку матриці переводиться у відповідне число в нижньому рядку).

Запис в один рядок [ред.]

Уживанішим в літературі є запис перестановки в один рядок (верхній рядок не пишеться):

 (та сама перестановка, що і в прикладі запису у два рядки).

Циклічний запис [ред.]

Докладніше: Циклічний запис (комбінаторика)

Циклом перестановки   називається така послідовність  , що 

Приклад:

Перестановка   має три цикли:

1. 

2. 

3. 

Циклічий запис перестановки — це запис через її цикли:

Так для перестановки з прикладу справедливим є запис: 

Транспозиція — перестановка, що міняє місцями два елемента. Транспозиція є циклом довжини 2.

14. Сполучення (комбінації)

Нехай є множина М, яка складається з n різних елементів. Будь-яка підмножина множини М, яка містить kелементів (k=0, 1, 2, ..., n), називається сполученням (combination) або комбінацією з даних n елементів по kелементів, якщо ці підмножини відрізняються хоча б одним елементом. Число різних сполучень із nелементів по k позначається   (combination від combinare лат. ‑ сполучати). Іноді замість   пишуть ( ).

Приклад. Із множини цифр 1, 2, 3, 4 можна утворити такі сполучення по два елементи: 1,2; 1,3; 1,4; 2,3; 2,4; 3,4.

Число всіх сполучень із n елементів по k, де  , дорівнює добутку k послідовних натуральних чисел, з яких найбільше є n, діленому на добуток всіх натуральних чисел від 1 до k.

.

Формулу для  можна записати в іншому вигляді. Помноживши чисельник i знаменник дробу в правій частині на добуток  , одержуємо:

.

Зауваження. Із n елементів можна скласти тільки одне сполучення, що містить всі n елементів, тому прийнято:

    .

Властивості сполучень:

а)  ;

б)  .

15. Біно́м Ньютона — вираз вигляду (a+b)ⁿ. Біном розкладається в суму одночленів, які є добутками деяких степенів його доданків a і b. В шкільній програмі вивчається формула бінома Ньютона із степенями n=2 та 3:

Спробуємо розкласти (a+b)ⁿ в многочлен у загальному випадку n. Запишемо його у вигляді добутку, пронумерувавши дужки:

Кожний доданок містить n множників: k множників a і (n-k) множників b, тобто має вигляд a^kb^n-k, де k≤n, k≥0. Кожний такий доданок взаємно однозначно відповідає підмножині номерів дужок, з яких для утворення цього доданка, бралися множники a. Таким чином, доданків   рівно стільки, скільки таких підмножин. Вкомбінаториці це число називається числом комбінацій з n по k і позначається   або  . Отже,

Коефіцієнти при   називаються біноміальними, оскільки записуються в розкладі бінома (a+b)ⁿ.

Біноміальні коефіцієнти мають очевидну властивість симетрії:

Розглянемо окремі випадки бінома Ньютона:

• при b=1 маємо : ,

• при a=b=1 маємо : ,

• при a= −1, b=1 маємо : .

Запишемо біноміальні коефіцієнти для початкових значень n=0, 1, …, 5 у трикутну таблицю (трикутник Паскаля):

З таблиці видно, що кожний елемент, який не є першим у своєму рядку, є сумою елемента над ним і елемента, розташованого над ним і ліворуч:

.

Доведення цього факту можливе методом математичної індукції.

16. Фу́нкція (відображення, трансформація, оператор) в математиці — це правило, яке кожному елементу з першоїмножини (області визначення) ставить у відповідність один і тільки один елемент з другої множини. Часто цю другу множину називають цільовою множиною чи образом функції чи відображення.

Відображення f, яке зіставляє кожному елементу множини A єдиний елемент множини B позначається як f:A→B (тобто fвідображує A в B).

Значення функції - значення у, що відповідає заданому значенню х.     Область визначення функції - усі значення, яких набуває незалежна змінна.     Область значень функції (множина значень) - усі значення, яких набуває функція.     Функція є парною - якщо для будь-якого х з області визначення функції виконується рівність f(x)=f(-x)     Функція є непарною - якщо для будь-якого х з області визначення функції виконується рівність f(-x)=-f(x)     Зростаюча функція - якщо для будь-яких х1 і х2, таких, що х1< х2, виконується нерівність f(х1)<f(х2)     Спадна функція - якщо для будь-яких х1 і х2, таких, що х1< х2, виконується нерівність f(х1)>f(х2) Способи завдання функції Якщо зі зміною однієї величини зміниться й інша, то ми маємо справу з функціональною залежністю, функціональну залежність можна задавати формулами, графіками, таблицями. • Щоб задати функцію, потрібно вказати спосіб, за допомогою якого для кожного значення аргументу можна знайти відповідне значення функції. Найбільш уживаним є спосіб завдання функції за допомогою формули у=f(x), де f(x)-вираз, що містить змінну х. У такому випадку говорять, що функція задана формулою або що функція задана аналітично. • На практиці часто використовується табличний спосіб завдання функції. При цьому способі приводиться таблиця, що вказує значення функції для наявних у таблиці значень аргументу. Прикладами табличного завдання функції є таблиця квадратів, таблиця кубів, таблиця температур.     Найчастіше функцію задають за допомогою формули. При цьому якщо не дано додаткових обмежень, то областю визначення функції, заданою формулою, вважають множину усіх значень змінної, при яких ця формула має сенс.    Наприклад, формула f(x)=1/x має сенс при всіх x ≠ 0, тому областю визначення функції f(x) = 1/x вважають множину усіх не рівних нулю дійсних чисел. Область її значень збігається з областю визначення і є об'єднанням інтервалів (–∞; 0) і (0; ∞).   Область визначення функції y = tg x — об'єднання всіх інтервалів виду де n ; область її значень — уся числова пряма, тобто E(tgх) = (–∞; ∞).  функції кількох змінних — це похідна по одній із змінних, причому інші змінні приймаються як константи. Часткові похідні використовуються у векторному численні та диференційній геометрії. Нехай f — функція, що залежить більш ніж від однієї змінної. Наприклад, Тут f можна інтерпретувати як родину функцій від однієї змінної при заіндексованій іншій: Іншими словами, при виборі нового значення x утворюється нова функція fx, котра є функцією від одного дійсного аргумента. Тобто,

17. Функція   зветься первісною функції   на деякому інтервалі дійсних чисел, якщо   — похідна функції   на цьому інтервалі, тобто в усіх внутрішніх точках інтервалу виконується рівність

Можна довести, що у будь-якої неперервної на інтервалі функції   існує первісна, яка також є неперервною функцією на цьому інтервалі.

Якщо   — будь-яка первісна функція   то  , де C - довільна стала, — також первісна цієї функції і "невизначений інтеграл функції  " посилається до множини   яка складається з усіх первісних функції   де   — довільна константа.

18. В математиці, часткова похідна (частинна похідна) функції кількох змінних — це похідна по одній із змінних, причому інші змінні приймаються як константи. Часткові похідні використовуються у векторному численні та диференційній геометрії.

Часткова похідна функції f за змінною x записується так: f_x або ∂f/∂x. Символ часткової похідної ∂ — це заокруглена форма літери d, що використовувалась для запису повної похідної. Позначення було запропоноване Лежандром і стало використовуватись після його представлення в працях Якобі.