15. Простае алгабраічнае пашырэнне поля. Вызваленне ад алгебраічнай ірацыянальнасці ў назоўніку дробу

Азн. Лік , які з’яўл. коранем некат палінома над полем наз. алгебраічным над гэтым полем , інакш ён трансцэндэнтны над .

Пр. 1 – алгебр. лік, т. як з’яўл. коранем палінома .

Азн. Непрыводны паліном над полем са старшым каэф-там =1(унітарны), коранем якога з’яўл. лік наз. мінім-м паліномам ліку .

Азн. Ступень мінімальнага палінома наз. ступенню алг. ліку .

Пр. 2 з’яўл. коранем палінома (непрыв. паліном, мінімальны).

Азн. Нях. – поле, – яго падполе . Поле наз. пашырэннем поля . Нях. – поле, – некаторы лік, абазн. .

Азн. Пашырэнне поля – алгебраічнае, калі кожны эл-т у гэтым пашырэнні алгебраічны.

Азн. ,  - алгебр. над  пашырэнне назыв. простым алгебр. паш-нем.

Вызваленне ад ірацыянальнасці ў назоўніку

Т. - простае алг. паш-не, тады = .

□ Па азн. , дзе і – паліномы над полем , ( – алг. лік).  (па ул. ,  - алгебр. над , – мінімальны паліном алг. ліку ,  [x] ) - мін. Паліном алг. ліку . Тады і – узаемна-простыя паліномы   u(х), v(х) [x]

Значыць дак-лі, што . Дак-жам зараз, што і .

Адзінасць. Паліном з гэтымі уласцівасцямі адзіны.

Дапусцім, што яшчэ 1 паліном ступені такі, што . Разгл. паліном . Калі , то гэта паліном ступені , коранем якога з’яўл. лік . ■

Геаметрыя

1. Скалярны здабытак вектараў ў трохмернай эўклідавай прасторы.

2. Вектарны здабытак вектараў у трохмернай эўклідавай прасторы.

3. Група рухаў плоскасці. Класіфікацыя рухаў.

4. Група пераўтварэнняў падобнасці плоскасці і некаторыя яе падгрупы.

5. Група афінных пераўтварэнняў плоскасці і некаторыя яе падгрупы.

6. Узаемнае размяшчэнне прамой і плоскасці.

7. Паняцце праектыўнай плоскасці.

8. Праектыўныя пераўтварэнні плоскасці.

9. Уласцівасці паралельных праекцый. Відарысы плоскіх фігур у паралельнай праекцыі.

10. Відарысы прасторавых фігур у паралельнай праекцыі.

11. Сістэма аксіём Вейля трохмернай эўклідавай прасторы і яе несупярэчлівасць.

12. Сістэма аксіём Гільберта трохмернай эўклідавай прасторы.

13. Плоскасць Лабачэўскага. Узаемнае размяшчэнне дэвюх прямых на плоскасці Лабачэўскага. Несупярэчлівасць сістэмы аксіём планиметрыі Лабачэўскага.

14. Гладкія крывыя ў трохмернай эўклідавай прасторы. Формулы Фрэнэ.

15. Гладкія паверхні ў трохмернай эўклідавай прасторы. Першая квадратычная форма паверхні.

1. Скалярны здабытак вектараў у трохмернай эўклідавай прасторы

А значэнне : Скалярным здабыткам ненулявых вектараў і наз. лік, які роўны здабытку даўжынь гэтых вектараў, памножан. на cos вугла паміж

вектарамі. =│ │*│ │cos(а^в) (1)

Вектарны здабытак цесна звязан з паняццем даўжыні адрэзка і велічыні вугла.

Часны выпадак: * =│ │*│ │cos0=│ │²; │ │²= ² → │ │= ;

(1) =>cosα = ( * )/(│ │*│ │)=( * )/( * );

мы бачым, што даўжыня вектара і вугла паміж вектарамі можна знайсці з дапамогай скалярнага здабытку. Усе гэта верна і на плоскасці і ў прасторы.

Уласцівасці скалярнага здабытку:

1. * = * ; 2. ( + )* = * + * ; 3. ( * ) = ( * ); 4. * = ² > 0, калі

Доказы уласцівасцяў:

1.)

2.) Нам спатрэбіцца паняцце праекцыі вектара на вектар.

П раекцыя вектара на :

(1) (2)

Памиж скалярным здабыткам и праекцыяй вектара на вектар мае месца наст. сувязь: Доказ уласцівасці 2:

Вывад формулы для вылічэння скалярнага здабытку вектараў, зададзеных каардынатамі. Для таго, каб знайсці скалярны здабытак дзвух вектараў і , раскладзеных па базісных вектарах, трэба скалярна перамножыць гэтыя дзве лінейныя камбінацыі. Для гэтага трэба ведаць скалярныя здабыткі базісных вектараў, таму пры вылічэнні скалярнага здабытку звычайна карыстаюцца артаўнармаваным вектарным базісам ( ). Няхай вектар =x₁ +y₁ +z_{1 ;} =x₂ +y₂ +z_{2 ;}

²=│ │²=1, ²= ²=1, _{* = * = * =} 0.

Таму * = x₁ x₂₊ y₁ y₂₊ z₁ z_2.

Практычнае выкарыстанне скалярнага здабытку вектараў.

Задача. Знайсці адлегласць ад пункта А(x_1,y_1,z₁) да В(x_2, y_2, z₂) зададзеных у дэкартавай сістэме каардынат. Рашэнне: │АВ│=│ │= ; =( x₂- x_1; y₂- y_1; z₂- z₁); │АВ│= . Калі пункты А і В размешчаны ў каардынатнай плоскасці Оху, тады z₁=z₂=0; │АВ│=