9. Паказнікавыя функцыі і іх асн. Уласцівасці. Расклад у ступеневы шэраг

Аз: Паказнікавая функцыя з асновай а>0 наз. функцыя, якая задаецца формулай y=a^x, а^x мае месца для адвольных хR, інакш кажучы паказнікавая функцыя адзначына на мноствеR

Уласцивасці:

1)Т: (складання)хR , а>0,а1,а^х1а^x2=а^х1+x2

доказ: няхай (r_n),(g_n) адвольныя паслядоўнасці рацыянальных лікаў, дзе r_nx₁, g_nx₂ , r_n+g_nx₁+x_2, калі n. Будзем разглядаць а_rn*а^gn=а^rn+gn (уласцівасць рацыянальнай ступені). Перойдзем да ліміту, калі n => a^x1a^x2=a^x1+x2

2) a^x>1, (a>1, x>0)

доказ: няхай (g_n) адвольная паслядоўнасць рацыянальных лікаў нарастальная, якая збягаецца да x, прычым для усіх n g_n(0;x), так як 0<g₁<g₂<…<g_n<… nN\{1}. Тады згодна ўласцівасці манатоннасці ступені з рац. лікам : a<a^g1<a^gn, 1<a^g1<a^gn , перойдзем да ліміту, калі g_nx, 1<ag1<ax.

Уласівасці манатоннасці пакз. Ф.

1)калі а) a>1 нарастальная

b) 0<a<1, a^x спадальная

Доказ: а) a>1, x₁,x₂ R, x ₁<x₂=>a^x1<a^x2

a^x2-a^x1>0

a^x2-a^x1=a^x1+(x2-x1)-a^x1=a^x1 a^x2-x1-a^x1=a^x1(a^x2-x1-1)>0, так як a^x1>0, a^x2-x1-1>0, гэта азначае, што наша функцыя нарастальная, калі a>1.

b) 0<a<1, b=1/a, x₁, x₂R, x₁>x₂, b>1

a^x2-a^x1=a^x1(a^x2-x1-1)=1/d^x1*((1/b^x2-x1)-1)<0

{другі доказ: (1/a)^x2-(1/a)^x1>0=>1/a^x2-1/a^x1>0, тады 1/a^x2>1/a^x1} a^x1>a^x2

Т: Калі a>0, a1 тады існуюць ліміты: lima^x=+, калі x+;lima^x=0, калі x-. Кали a>1 lima^x=0, калі x+ lima^x=+, калі x-.

Доказ: 1) няхай a>0, a^x+, калі x+ тады можна лічыць, што x>1 г.з. [x]=n, nN прычым n.

Акрамя таго [x]=n<=x , згодна ўласцівасці паказальнай функцыі з няроўнасці x>=n тады няроўнасць a^x>=aⁿ так як a>1, тады яго можна запісаць у выглядзе a^x>=aⁿ=(1-h)ⁿ дзе h>0, тады згодна няроўнасці Бярнулі, гэта (1+h)ⁿ>=1+nh, тады калі x+, то n і a^x, г.з. lima^x=+ калі x

2) Няхай x- , паложым x=-t тады, калі x-,

-t+,

lima^t=+ , тады lim_x-a^x=lim_t+ a^-t=1/lim_t+a^t=0

Ул: Абсяг значэння функцыі y=a^x, a>0, a1, E_y=(0;) так як y=a^x, a1–манатонна непарыўна (-;+)таму згодна тэарэме Бальцана-Кашы D_f яе вызначэння так сама з'яўляецца прамежкам які супадае з інт.(0;). Так як функцыя y=a^x>0 і lim_{x+,-}a^x=0 (x+, x-); lim_{x+,-}a^x=+(x-, x+).

Характэрныя пункты гэтай функцыі: 0 і 1

Аз: Непарыўныя на прамежку Х ф. f(x) наз вупуклай уверх (уніз) калі x₁, x₂ на гэтым прамежку мае месца : f((x₁+x₂)/2)>=[f(x₁)+f(x₂)]/2,

{ f((x₁+x₂)/2)>=[f(x₁)+f(x₂)]/2}

Раскладанне функцыі y=е^x у ступеневы шэраг Маклорэна.

(1) -ликавая паслядоунасць.

(2) - частковыя суммы

Пару, якая складзена з паслядоунасцей (1) и (2) наз ликавым шэрагам.

Шэраг виду , дзе Cn, a - ступеневы шэраг.

Тэарэма: Кали на интэрвале (a-R;a+R) функцыя f(x) раскладаецца у ступеневы шэраг, то гэта раскладанне адзинае и мае выгляд:

-шэраг Тэйлора

- шэраг Макларэна

Формула Тэйлора: , дзе - астача шэрагу.

- астача шэрага (1) пасля n-га складника, ,

Иснуюць дзве формы астачы:

1) астача у форме Кашы: -лик, модуль якога <1.

2) астача у форме Лагранжа:

Маем f(x)=е^x, f'(x)=е^x, f''(x)=е^x,...,f^(k)(x)=е^x і таму f(0)=f'(0)=...=f^(k)(0)=1, тады f(x)=1+x/1!+x²/2!+...+xⁿ/n!+xⁿ⁺¹е^θx/(n+1)!, (0<θ<1)

шэраг ^_n=0xⁿ/n! абсалютна збежны для  канечных знач. x тады маем, для x, xⁿ⁺¹/(n+1)!0, калі n.

Але е^θx е^x (калі x>0), і е^θx1(x<0), а таму

xⁿ⁺¹е^θx/(n+1)!0, для x, і мы маем е^x=1+x/1!+x²/2!+...+xⁿ/n!+...(для x).