13. Паліномы над полем. Найбольшы агульны дзельнік двух паліномаў і

алгарытм Эўкліда. Раскладанне палінома ў здабытак непрыводных множнікаў i яго адзінасць

Азн. Нях. К – кольца з адзінкай l, x – сімвал, . Выразы выгляду наз. паліномамі ад зменнай x над кольцам К. Абазн. . – каэф-ты палінома, – свабодны складнік. Калі , то n – ступень п-ма і абазн. . наз. ненулявым, яго ступень не вызначаецца.

Пр. 1 .

Азн. Нях. F – поле, . Агульным дзельнікам паліномаў і наз. такі паліном з , на які дзеляцца і . Азн. НАД паліномаў і наз. такі іх агульны дзельнік, які дзеліцца на любы іх агульны дзельнік. Абазн. НАД .

Алг. Эўкліда. Нях. . Калі і адзіны.

(1)

(2)

(3)

...................................................................

. Паколькі deg астачы утвар-ць супад. паслядоўнасціна некат. кроку deg стане =0.

. Гэта пасл-сць дзялення з астачай – алгарытм Эўкліда.

Т. Апошняя няроўная 0 астача ў пасл-ці Эўкліда = НАД( і ), і. к. □ Нях.

З (1) ,

З (2) ,

...........................

, і наадв.

,

,

..............................

■

Азн. Паліном , ступень якога наз непрыводным над полем F , калі яго нельга прадставіць у выгл. здабытку 2-х паліномаў дадатнай ступені (і. к. ў выглядзе здабытку неабарач. эл-аў з кольца .

Пр. 2 – прыводны, – непрыводны над R.

Азн. Раскладаннем паліномаў на непрыводныя множнікі наз. прадстаўленне у выгл. , - непр. над полем F і ўнітарныя, а а – старэйшы каэф-т .

Т. Любы паліном м. раскласці на непрыводныя множнікі над полем F з дакладнасцю да множнікаў нулявой ступені, .

□ 1) n=deg f(x)

Калі n=1. то =ax+b, дзе а0. .

Калі deg f(x)< n – праўдзіва. deg f(x)= n(па Т. аб існаванні непрыв. унітарнага дзельніка) - непрыводны . Калі - прыводны  непрыводны уніт. дзельнік , , дзе . = - непрыв. і ўнітарны - як і неабходна.

2) Нях. есць 2 раскладанні: (1), (2), дзе b, cF*, i, j - непрыв. і ўнітарны з параўнання старэйшых каэф-аў атрым., што b= c. Відавочна (непрыв.)  (па ул. ) але - непрыводны  ен асацыятыўны з 

Пакажым, што . З (1) і (2) , што .

. ■

Пр. 3 1) над непрыводны. 2) над прыводны. . x²+2х+2 – прыв. над С і непрыв. над .

14. Непрыводныя паліномы над полем камплексных I сапраўдных лікаў

Азн. Нях. . Эл-т наз. коранем палінома , калі .

Азн. Поле F – алгебраічна замкненае, калі для  , мае ў гэтым полі хаця б 1 корань.

Непрыв. Пал-ы над полем кампл. Лікаў

Існуюць паліномы з сапр-мі каэф-мі, якія не маюць каранеў у полі сапр. лікаў. Напр., паліном . Гэта прывяло да неабходнасці ўвядзення мн-ва кампл. лікаў. Узнікае пытанне: ці існуюць паліномы з кампл-мі каэф-мі дадатнай ступені, якія не маюць каранеў у полі кампл. лікаў. Адказ на гэта пытанне дае асноўная т. алгебры:

Т. поле - алгебраічна замкненае.

Вынік. Непры-мі над полем кампл. лікаў з’яўл. толькі паліномы 1-й ступені.

Непрыв. Палін-ы над полем сапр. Лікаў

Т. Непрыводнымі над полем сапр. лікаў з’яўл. толькі паліномы 1-й ступені і паліномы 2-й ступені з адмоўным дыскрымінантам.

□ 1) Нях. , тады непрыводны, па адпаведнай ул-сці.

Нях. (з алгебр. замкненасці поля) у  корань а ( па Т. Безу:  дзяленне з астачай на (х–а), аК : ) .

2) непрыводны, . Нях. Д( )0  х1 – корень , х1R(па Т. Безу) , што супярэчыць непрыв-сці . Няхай цяпер Д<0  непрыводны,

мае корань -  х1 – корань і R, што супярэчыць таму, што Д<0. ■

Абазначым – мн-ва ўсіх алгебраічных эл-таў над полем .

Т. 1) – поле, 2) – алгебраічна-замкненае поле.

Т. Нях. K – алг. пашырэнне поля , якое не супадае з . Тады – ізаморфна полю кампл. лікаў.