9. Простыя лікі. Бясконцасць мноства простых лікаў. Кананічны расклад

састаўнога ліку і яго адзінасць

Азн. Нат. лік n>1 наз. простым, калі ен не мае ўласных дзельніаў (мае толькі 2 нат-х дзельніка: 1 і n).

Мн-ва простых лікаў:

Азн. Нат. лік n>1, які мае больш 2-х нат-х (розных) дзельнікаў наз. састаўным.

Заўвага. 1 не з’яўл. ні простым, ні састаўным лікам.

Ул 1. , p – просты (а;р)=1 а р □ d=(а;р); калі d =1, то наша сцв. праўдз.; калі d 1, р d р - просты d =р; а d а р ■

Ул 2. Калі р q – простыя, то р q (р, q)=1

Ул 3. р –просты, ab p а р b р

Т. Мн-ва простых лікаў P з’яўл. бясконцым.

□ (ад процілеглага) Дапусцім P з’яўл. канечным, тады – усе простыя лікі. Разгл. лік , ен павінен дзяліцца на нейкі просты лік, але відавочна, што ен не дзеліцца ні на адзін з лікаў , атр. супярэчнасць, а зн. Р – бясконцае мн-ва. ■

Азн. Раскладаннем цэлага ліку а на простыя множнікі наз. прадстаўленне яго ў выгл. , дзе – простыя лікі.

Тэар. Кожн. n , n>1 раскл. у здабытак простых сумножнікаў, прычым такі расклад адзіны, з дакладнасцю да парадка сумножнікаў. □ Існаванне: ММІ па n: n=2 2=2; няхай тэар. праўдзіва для ўсіх лікаў < n, разгл. n: калі n-просты, то n=n , калі n- не просты, то ў яго ёсць просты дзельнік р, г. зн. n=p , 1< <n. Па пасылцы індукцыі . n= - расклад у здабытак простых лікаў. Адзінасць: ММІ па n: n=2 2=2 -просты; няхай тэар. праўдзіва для ўсіх лікаў < n .Дапусцім, што існуе 2 расклады:n= і n= ; = ; . Па выніку (калі р- просты, ) і ; i=1 ; ( ) (па ўл. 2) ; = ; = = ; <n. Па пасылцы індукцыі адзіны расклад на простыя лікі зн. - аднолькавыя з дакладнасцю да парадку сумножнікаў, зн. здабыткі з якіх пачыналі таксама аднолькавыя.■

Азн. Кананічным раскладаннем нат-га ліку на простыя множнікі наз. прадстаўленне яго ў выгл.: , дзе – розныя простыя лікі, а – натуральныя лікі.

Азн. Нях. , лік b наз. іх агульным кратным, калі і= b

Азн. Нях , найм. аг. кратным наз.такі натур. лік b, які 1) b- аг. кратнае гэтых лікаў; 2) аг. кр. с с b

Ул. 1) калі найм. аг. кр. , то яно адзінае; 2) калі а і b [a,b]= 3) a,b , [ a, b]=[a,b]; [a,b]=[b,a]; [ak,bk]=[a,b] ; (a;b)=1 [a,b]=ab.

Азн. і 0. НАД гэтых лікаў наз. найб. натур. лік, якому кратныя ўсе .

Ул. 1) калі НАД , то ён адзіны; 2) 0 ( )= ( )

10. Асноўныя ўласцівасці параўнанняў. Прыкметы падзельнасці. Тэарэма

Эйлера i Ферма

Азн. Нях. . Цэлыя лікі а і b наз. параўнальнымі па модулю m, калі .

Ул.  a, b – маюць аднолькавыя астачы пры дзяленні на m .

Асн-ыя ўлас-сці пар-няў: 1) 2) калі , то , , 3) , 4) _, то 5) калі і= , то , 6) калі (c,m)=1 , 7) с ,8) , 9) , 10) , 11)

Т. (прыкмета падзельнасці Паскаля). Нях. i , (mod m), тады лік

_{(гэтыя лікі маюць аднольк. астачы пры дзяленні на m )}

_□ ■

_{Прыкметы падзельнасці:}

_{Ул 1. Лік А= пры дзяленні на 2 мае тую ж астачу, што і лік . У прыватнасці лік А кратны 2, т.іт.т.. калі лік - цотны.} □ , ■

_{Ул 2. Лік А пры дзяленні на 4 мае тую ж астачу, што і лік ,а таксама, што і лік} □ , , і , , ) , ) ■

_{Ул 3. Лік А па mod 8 параўн. з лікам і з лікам}

_{Ул 4. Ул 5.}

_{Ул 6. Лік А параўн. з сумай сваіх лічб па mod 3,} □ , , , т.ч. і , выкарвстаўшы прыкм. Паскаля атрымаем ■

_{Ул 7.}

_{Ул 8.} □ , , , , і атрымаем ул 8. ■

- утрымл. m эл-таў – мн-ва класаў узаемна-простых з модулем.

Т. Мн-ва з’яўл. мультыплікатыўнай і камутатыўнай групай, адносна аперацыі множання класаў . □ 1) Алгебраічнасць аперацыі з азн. т. як здаб. класаў з’яўл. класам. 2) камут.: . 3) асац.: , 4) адзінкай з’яўл. клас . , т. як НАД(1,m)=1. , 5) пакажым, што для кож. класа адваротны. Па т. аб лін. прадстаўленні НАД 2-х лікаў існуюць такія цэлыя лікі u і v , што . ■

Ул.

Азн. Нях. , -колькасць натур. лікаў не > за , якія ўзаемна простыя з .

Вынік. . Колькасць эл-таў у роўна .

Т. Эйлера. Калі (а,m)=1, тады 1) у , 2) , 3)

□ пункты 1), 2), 3)-адно і тое ж. Дастаткова д-ць 1): (a,m)=1 ; т.як , s-парадак класа у , тады ; пункт 2) з 1) па азнач. класса: = , , ■

Т. (Ферма) Калі (p-просты лік) 1) у ; 2) , 3) ; 4) ( ) ; 5) ; 6)

□ Дак-м пункты 1),2),3): (a,p)=1, тады 1),2),3) з т. Эйлера; Доказ 4) : калі (a,p)=1, , дамножым на а: , калі , і 4) з’яўл. відавочнай; 5) і 6) з 4) ■