8. Ізамарфізм вектарных прастораў. Бaзіс і памернасць канечнамернай

вектарнай прасторы. Падпрасторы

Азн. няхай Р - поле. Непустое мн-ва V наз. лінейнай прасторай (або вектарнай прасторай) над Р (элементы V будзем называць вектарамі, элементы Р-скалярамі), калі: 0) На V зададзена бінарная алгебраічная аперацыя, якая наз. складаннем ці сумай, г.зн., што азначпны вектар ), якая задавальняе ўмовам: 1) = ; 2) , што ; 3) такі, што ; 4) ; Зададзена аперацыя здабытку скаляраў (эл-таў з Р) на вектары (эл-ты з V) (г.зн., што , азначаны вектар ); 5) ; 6) ; 7) ; 8)

Азн. Нях. V, U - лінейныя прасторы над полем P. Адлюстраванне наз. лінейным (гамамарфізмам лін. прасторы), калі 1) ; 2)

Азн. V, U - лінейныя прасторы над P. -гамамарфізм. Калі f-біекцыя, тады f наз. ізамарфізмам.

Пр. 1) Разгл. . n – фіксаваны нат-ы лік. Ступень не прыузыходзіць n, т. як м. б. =0. Гэта лін. прастора над полем сапр. лікаў. – лін. пр-ра над . Вызначым адлюстраванне – гэта ізамарфізм. 2) - тоеснае адлюстраванне.

Ул: Калі - ізамарфізм лін. прастораў, тады -таксама ізамарфізм лін. прастораў. □ Паколькі f- біекцыя, тады - існуе і з’яўляецца біекцыяй. Трэба д-ць, што - лін. адлюстраванне. існуюць адзіныя такія, што і . Заўважым, што і . Тады ■

Тэар. Пры гамамарфізме лін. залежная с-ма адлюстроўваецца ў лін. зал. с-му, а калі мы маем ізамарфізм, то і лін. незал. с-ма адлюстроўваецца ў лін. незал.

_Азн. сістэма вектароў лін. прасторы V над P (1) наз. базісам лін. пр-ры V, калі выконваюцца ўмовы: 1) с-ма (1)– лін. незал. 2) (умова паўнаты)

Азн. Упарадкаваная n-ка з раскладу наз. каардынатамі вектара у базісе .

Азн. Лік в-раў у базісе лін. пр-ры наз. яе вымернасцю прасторы V над P . Абазн. .

Т. Нях. – базіс пр-ры над полем P, тады будзе із-змам.

Пр. 2 1) V_2. Адвольныя 2 некалінеярныя вектары утвараюць базіс, dim _R V₂=2. 2) V₃. Адвольныя 3 некампланыя вектары ўтвараюць базіс, dim _R V₃=3. 3) , стандартны базіс , , …, . Зн.,

Тэар. Прасторы канечнай вымернасці ізаморфны т.і т. т., калі яны маюць аднолькавыя вымернасці

Азн. Няхай V лін. прастора над полем P. Непустое падмн-ва наз. падпрасторай прасторы V, калі U з’яўл. лін. прасторай адносна апенацый, якія аэначаны ў V.

Крытэрый падпр-ры. V лін. прастора над полем P. Падмн-ва з’яўл. падпрасторай у V т. і т.т., калі выконваюцца 3 умовы:

1) Ø, 2) 3) .

Пр. 2 1) - мн-ва ўсіх геам-х в-раў у пр-ры, - мн-ва ўсіх геам-х в-раў у пл-сці падпр-ра пр-ры . 2) V-адвольная лін. прастора. У ёй есць дзве трвыіяльныя падпр-ры: V і { }.

Азн. Лінейна камбінацыя наз. трывіяльнай, калі ўсе яе каэфіцыенты роўныя нулю.

Азн. Калі толькі трывіяльная камбінацыя с-мы вектароў (1) роўная , тады гэта с-ма наз. лін. незалежнаю.

Ул. С-ма вект (1) з’яўл. лін. незал. т. і т.т., калі з таго, што вынікае, што

Азн. С-ма (1) наз. лін. залежнаю, калі яна не з’яўляецц лін. незалежнаю

Ул. С-ма (1) з’яўл. лін. зал. т. і т.т., калі існуюць , не ўсе роўныя нулю такія, што