29. Асноўная тэарэма алгебры

Ф-я W=f(z) , у которой область зн-ий D(f), и обл.опред. E(f), являются подмнож. мн-ва C наз. комплексной ф-ией.

Компл.ф-я W=f(z) наз.аналитической в т.z₀, когда она явл-ся диффер. в т.z₀ и в некоторой окрестности этого п-та.

Компл.ф-я W=f(z) наз. аналитической в области D, когда она явл-ся аналитической в каждом точке этой области.

Теорема: Когда для ф-и z=f(x,y) сущ. в некот. окрестности т. М частные производные и они являются непрерывными в т.М, тогда ф-я f яв-ся диф-ой в т.М.

Пусть z₀-внутр. т. обл. определения компл. ф-ии f(z). Компл.ф-я f наз. дифф-ой (моногенной) в т.z₀,когда её прирост в этом т. имеет представление:

Когда ф-я W=f(z) является диф-мой в т.z₀, то она имеет в т.z₀ производную и наоборот, когда ф-я W=f(z) имеет произв. в т.z₀, то она диф-ма в т.z₀. Причём в равенстве (3) A=f’(z₀).

Теорема (условия диф-сти компл.ф-ии). Для того, что бы компл. Ф-я W=f(z)=u(x,y)+v(x,y)i была диф-ма в п. необх. и дост., чтобы в п.М(x0,y0) были диф-уемы действ.ф-и u(x,y), v(x,y) и чтобы выполнялись след.усл-я: (условия Коши-Римана)

Пример.

Теорема (основная теорема алгебры). Каждый многочлен, ненулевой степени над полем компл. чисел, во всяком случае имеет один ноль.

Док-во. Метод от противоположного. Допустим многочлен n-й степени не имеет нулей. Рассмотрим ф-ю Ф-я f яв-ся аналитической на всей пл-сти, т.к. аналитическая. При этом Отсюда следует, что для числа 1 . Рассмотри замкнутый круг |z|<=R. В этом круге ф-я f –аналитическая, а поэтому и непрерывная, значит она в нём ограниченная, а зн. Тогда она по т.Лиувиля, будучи аналитической и ограниченной, яв-ся постоянной ф-й. А т.к. f постоянная, то и мн-во яв-ся постоянной, что невозможнопротиворечие.

30. Вытворная функцыі камплекснай зменнай. Умовы дыферанцавальнасці. Паняцце аналітычнай функцыі

Опр. Ф-я W=f(z) , у которой область зн-ий D(f), и обл.опред. E(f), являются подмнож. мн-ва C наз. комплексной ф-ией.

Опр. наз. производной в т.z₀ и обознач.: -внутр.т. области определения.

А) z(x,y) диффер. в т.M(x₀,y₀) , когда её приращение в т.М имеет вид- = (1)

(2).

Опр. Производной комплексной ф-ии в т. z₀ наз. предел отношения приращения ф-ии к приращению независимой переменной , когда , т.е. .

Опр. Компл.ф-я W=f(z) наз.аналитической в т.z₀, когда она явл-ся диффер. в т.z₀ и в некоторой окрестности этого п-та.

Опр. Компл.ф-я W=f(z) наз. аналитической в области D, когда она явл-ся аналитической в каждом точке этой области.

Теорема. Когда для ф-и z=f(x,y) сущ. в некот. окрестности т. М частные производные и они являются непрерывными в т.М, тогда ф-я f яв-ся диф-ой в т.М.

Б) Пусть z₀-внутр. т. обл. определения компл. ф-ии f(z). Компл.ф-я f наз. дифф-ой (моногенной) в т.z₀,когда её прирост в этом т. имеет представление:

Теорема. Когда ф-я W=f(z) является диф-мой в т.z₀, то она имеет в т.z₀ производную и наоборот, когда ф-я W=f(z) имеет произв. в т.z₀, то она диф-ма в т.z₀. Причём в равенстве (3) A=f’(z₀).

Теорема (условия диф-сти компл.ф-ии). Для того, что бы компл. Ф-я W=f(z)=u(x,y)+v(x,y)i была диф-ма в п. необх. и дост., чтобы в п.М(x0,y0) были диф-уемы действ.ф-и u(x,y), v(x,y) и чтобы выполнялись след.усл-я: (условия Коши-Римана)

Док-во: Необх. т.к ф-я диф-а в п. , т.е её прирост в п. имеет вид

Рав-во (4) по определению означает что u,v-диф-е. Остаётся док-ть усл-я Коши-Римана из опр-я (1) имеем