26. Магутнасць мноства. Злічоныя мноствы і іх уласцівасці

АЗН: Магутнасцю концага мноства наз-ца лік яго элементаў. Калі мноства бясконцае, то лік яго бясконцы і таму нельга параўнаць у якога з бясконцых мностваў "больш элементаў". У сувязі з гэтым існуе паняцце магутнасці бясконцага мноства, якое дазваляе параўнаць бясконцыя мноствы.

АЗН: Усе мн-вы разаб'ем на классы эквівалентных паміж сабой мн-ваў. Гэтыя класы не перасякаюцца. Магутнасцю мн-ва А наз-ца той клас эквівалентных мностваў, які ўтрымлівае мн-ва А і абазн. . А={5,7,8}. =3.

Аказваецца пры такім азн-ні магутнасці можна параўноўваць паміж сабой. І больш таго існуюць бясконцыя мноствы розных магутнасцей і няма мноства з наібольшай магутнасцю.

АЗН: 1.Калі _А~В (эквівалентна), то мн-вы А і В наз-ць раўнамагутнымі па азн. .

2. , то кажуць, што , 3.

З гэтага азн. вынікае, што калі .

АЗН: Калі мн-ва А з'яў-ца эквівалентным мн-ву N натуральных лікаў, то мн-ва А наз-ца злічальным. Злічальнае мн-ва заўсёды бясконцае і ўсе яго элементы магчыма занумераваць. Прыклады злічальных мн-ваў: N={1,2,...,n,…}, A={2,4,…,2k,…}, Z={…-3,-2,-1,0,1,2,3,…}.

Уласц-ці зліч. мн-ваў:

Тэарэма: Аб'яднанне канечнага мноства злічальных мноств – злічальна .

Доказ: Калі мн-вы А_k злічальныя, то іх элеменлы можна занумераваць.

А₁={а₁₁,а₁₂,...,а_1n,...}

А₂={а₂₁,а₂₂,...,а_2n,...}

........

А_n={а_n1,а_n2,...,а_nn,...}

Тэарэма: Аб'яднанне злічальнага мноства канечных мноств будзе злічальна.

Доказ: Калі мн-вы А_k злічальныя, то іх элеменлы можна занумераваць.

А₁={а₁₁,а₁₂,...,а_1n}

А₂={а₂₁,а₂₂,...,а_2n}

........

А_n={а_n1,а_n2,...,а_nn}

Тэарэма: Із уселякага бясконцага мноства можна выдзяліць злічальнае падмноства.

Доказ: А – бясконцае мноства, . . ,

Тэарэма:Уселякае бясконае падмноства злічальнага мноства злічальна.

1. Тэарэма: Аб'яднанне злічальнага мн-ва злічальных мностваў ёсць злічальнае мн-ва.

Доказ: Калі мн-вы А_к злічальныя, то іх элеменлы можна занумераваць.

А₁={а₁₁,а₁₂,...,а_1n,...}

А₂={а₂₁,а₂₂,...,а_2n,...}

А₃={а₃₁,а₃₂,...,а_3n,...}

........

А_n={а_n1,а_n2,...,а_nn,...}

.........

Пабудуем табліцу (неабмежаваную матрыцу)

Э лем-ты гэтай табліцы будзем нумераваць па дыяг-лі. Пры такім спосабе нумер-і усе эл-ты будуць ахоплены, т.я. кожная дыяг-ль мае концае мн-ва эл-аў. А эл-ты, якія паўтараюцца не нумеруем (апускаем).2. Аб'яд-не концага або зліч-га мноства концых або зліч-х мн-ў ёсць концае або зліч-е мн-ва. І заўсёды з'яў-ца зліч-м, калі адно з мн-ваў – злі-е. Калі да зліч-га мн-ва дабавіць концае, то атр-ца зліч-е мн-ва. 3. Мн-ва Q рац-х лікаў з'яў. зліч-м мн-вам. 4.Дэкартавы здабытак концага мн-ва зліч-х мн-ў ёсць злічальнае мн-ва. 5.З усіх бяск-х мн-ваў наіменшую магут-ць мае злічальнае мноства. 6.Мн-ва алг-х лікаў з'яў. зліч-м мн-м. (Алг-ны лік – сапр-ны або кампл-ны лік, які з'яў. коранем нейкага мнагаскладу з цэлымі каэф-мі.)

.

АЗН: Калі мн-ва А з'яў-ца эквівалентным мн-ву N натуральных лікаў, то мн-ва А наз-ца злічальным.

Теорема: мноства ўсіх цэлых Z лікаў злічальна.

Доказ: Прадставім Z у выглядзе , дзе Z₊ – мн-ва цэлых адмоўных лікаў, Z_- – мн-ва цэлых дадатных лікаў. Тады дастаткова дак-ць, што мн-ва Z₊ – злічальнае ( т.я. Z₊ эквівалентна Z_-).

тады - злічальнае, т.я. , :

Злічальнае+злічальнае+ канечнае, тады аб'яднанне злічальнага мн-ва злічальных мностваў ёсць злічальнае мн-ва. Зн. мн-ва Z – злічальнае.

Тэарама. Мноства простых лікаў злічальна.

Доказ: можам казаць, што простыя лікі гэта бясконцае падмноства лікаў.

Усілякае бясконцае падмноства злічальнага мноства злічальна.

Тэарама. Мн-ва Q рацыянальных лікаў з'яў. злічальным мн-вам.

Доказ: Прадставім Q у выглядзе , дзе Q₊ – мн-ва адмоўных лікаў, Q_- – мн-ва дадатных лікаў. Тады дастаткова дак-ць, што мн-ва Q₊ – злічальнае ( т.я. Q₊ эквівалентна Q_-).

Разгледзім наступныя мн-вы:

.........

Тады мн-ва . Але ўсе мн-вы А_к злічальныя (яны бясконцыя і іх элементы занумераваныя). Тады Q₊ – злічальнае мн-ва, т.я аб'яднанне злічальнага мн-ва злічальных мностваў ёсць злічальнае мн-ва. Зн. мн-ва Q – злічальнае.

Вынік: Любое бясконцае падмноства рацыянальных Q лікаў злічальна.