24. Тэарэма Банаха аб сціскальным адлюстраванні. Скарыстанні тэарэмы Банаха аб сціскальным адлюстраванні

Азн 1.1. Няхай Х – некаторае непустое мноства любой прыроды. Разгледзім дэкартавы здабытак . Метрыкай на мностве Х называецца сапраўдная функцыя , азначаная на здабытку Х  Х і здавальнаяючая x, y, zX наступным умовам: 1) (x,y)0; (x,y)=0  x = y; 2) (x,y) = (y,x); 3) (x,y)  (x,z) + (y,z) (няроўнасць трохвугольніка). Значэнне функцыі  у пункце (x,y) , г.зн. лік (x,y) называецца адлегласцю паміж пунктамі x i y. Умовы 1-3 называюцца аксіёмамі мeтрыкі.

Азн 1.2. Мноства Х з метрыкай  на гэтым мностве, г.з. упарадкаваная пара (Х, ), называецца метрычнай прасторай (м.пр.). Элементы мноства Х называюцца элементамі або пунктамі м.пр. (Х, ).

Азн 1.3. Няхай дадзена м.пр. (Х, ), няхай МХ, _м(x,y) = (x,y). Відавочна, што і прастора ( М, _м ) у гэтым выпадку будзе метрычнай прасторай, паколькі М  М  Х  Х.. Прастора (М, _м) называецца падпрасторай метрычнай прасторы ( Х,  ).

Прыклады метрычных прастораў Прыклад. Няхай R – мноства сапраўдных лікаў. Для любых лікаў x,yR увядзём функцыю (x,y) = х у (1.1). Відавочна, што (1.1) задавальняе аксіёмам 1 і 2 метрыкі. Пакажам, што функцыя  здавальняе аксіёме 3 x,y,zR : (x,y) = х  у= х z + z у х  z+ z  у= (x,z) + (z,y).

Нагадаем азначэнні і тэарэмы, якія нам прыйдзецца скарыстаць .

Азначэнне. Паслядоўнасць (x_n) метрычнай прасторы (Х, ) называецца фундаментальнай, калі 0 Nn,m > N  (x_m,x_n).

Азначэнне. Метрычная прастора называецца поўнай метрычнай прасторай, калі любая паслядоўнасць пунктаў гэтай прасторы збягаецца ў ёй.

Тэарэма. Няхай (Е, _х) – падпрастора поўнай метрычнай прасторы (Х, _х). Калі мноства Е замкнёнае, то (Е, _х) - таксама поўная метрычная прастора.

Азначэнне. Пункт Х называецца нерухомым пунктам адлюстравання f метрычнай прасторы (Х, _х) у сябе (f: Х Х), калі f( ) = .

Азначэнне. Адлюстраванне метрычнай прасторы Х у сябе называецца сціскальным, калі існуе лік  (0 <  < 1) такі, што х₁,х₂Х выконваецца няроўнаць

 f(x₁),f(x₂) )  x₁, x₂. (1)

Асноўныя ўласцівасці сціскальных адлюстраванняў

Тэарэма Усякае сціскальнае адлюстраванне метрычнай прасторы Х у сябе непарыўнае на мностве Х.

Тэарэма Банаха ( прынцып сціскальных адлюстраванняў). Усякае сціскальнае адлюстраванне поўнай метрычнай прасторы (Х, ) у сябе ( f: Х Х ) мае нерухомы пункт і пры тым толькі адзіны.

Заўвага. Х не з’яўляецца пустым мноствам.

Выбярэм любы пункт х_оХ і пабудуем паслядоўнасць (х_n) па правілу: x₁ = f(x_o), x₂ = f(x₁), x₃=f(x₂),…, x_n=f(x_n-1). (2)

Дакажам, што паслядоўнасць (x_n) фундаментальная, г.зн. 0 Nn,m > N  (x_m,x_n).

Абазначым (x₁,x_о)=d (3). Па ўмове тэарэмы f – сціскальнае адлюстраванне. Скарыстаем няроўнасць (1) і абазначэнне (3).Будзем мець:

 f(x₁),f(x_о)) = x₂, x₁  x₁, x_о =  d,

 f(x₂),f(x₁)) =x₃, x₂  x₂, x₁  ²x₁, x_o =²d,

 f(x₃),f(x₂))  x₃, x₂  ²x₂, x₁ = ³d і г.д.

Карыстаючыся метадам мат-й індукцыі можна даказаць, што (x_n+1,x_n )  ⁿd nN. (4)

Выбярэм адвольныя натуральныя лікі m i n (m>n) і ацэнім x_m, x_n, скарыстаўшы няроўнасць трохвугольніка і няроўнасць (1).Атрымаем: x_n, x_m x_n, x_m-1 + x_m-1, x_m  x_n, x_n+1 + x_n+1, x_n+2 + x_m-1, x_m x_n, x_n+1 + x_n+1, x_n+2 + …+ x_m-2, x_m-1 + x_m-1, x_m 

 ⁿd + ⁿ⁺¹ d +…+ ^m-1d = d(ⁿ + ⁿ⁺¹ +…+ ^m-1) = d  x_n, x_m  d .

Паколькі 0 <  < 1, то ⁿ + ⁿ⁺¹ +…+ ^m-1 - сума членаў бясконца ўбываючай геаметрычнай прагрэсіі, таму x_n, x_m  d (5). Ліміт паслядоўнасці роўны 0, калі n. Гэта значыць, што паслядоўнасць бясконца малая, і таму  n  < . (6)

З няроўнасцей (5) і (6) вынікае x_n, x_m<. А г.зн.,што 0 Nn,m > N  (x_m,x_n).

Такім чынам, паслядоўнасць (2) фундаментальная.

Пакажам, што паслядоўнасць (2) збягаецца да ліку .

Па ўмове тэарэмы (Х, ) - поўная метрычная прастора, (х_n) – любая яе фундаментальная паслядоўнасць і яна павінна збягацца да элемента прасторы (Х, ), а г.зн. існуе пункт Х такі, што

(7)

Дакажам, што - нерухомы пункт. З роўнасці (7) вынікае, што а адпаведна роўнасцям (2) f(x_n-1) = x_n . Таму У сілу тэарэмы (2) усякае сціскальнае адлюстраванне зяўляецца непарыўным. Таму Гэта даказвае нерухомасць пункта .

Дакажам адзінасць нерухомага пункту.

Няхай ёсць яшчэ нерухомы пункт х*. Т. ч. існуюць два пункты , х*X такіе, што f( ) = і f(x*) = x*. Тады  , x*=f( ), f(x*)   , x* ( , x*)  , x* ( , x*)(1 )  0. Але гэты здабытак можа быць толькі неадмоўным, паколькі ( , x*)  0 і 0 <  < 1. Т. ч. = x*. 

Заўвага. Метад знаходжання нерухомага пункту называецца метадам ітэрацыі, або метадам паслядоўных набліжанняў.

Гэтым метадам можна карыстацца пры доказе таго факту, што раўнанне мае адзінае рашэнне як для звычайных алгебраічных раўнанняў, так і для дыферэнцыяльных раўнанняў.

Прыклад. Няхай f – функцыя - адлюстраванне адрэзка [a,b] у адрэзак [a,b], задана формулай f(x) = x (8). Гэта ф-я дыф-я, а яе вытворная здавальняе ўмове: f’(x)  (0 <  < 1) x [a,b].

Дакажам, што раўнанне мае адзінае рашэнне.

[a,b] – замкнёнае мноства поўнай метрычнай прасторы R і таму падпрастора Х = ([a,b] , (x,y) = ху) - поўная метрычная прастора. Функцыя f здавальняе ўмовам тэарэмы Лагранжа на [a,b] :x₁,x₂a,b f(x₁) – f(x₂)f’()x₁ x₂ x₁ x₂.

На падставе азначэння 3 f – сціскальнае адлюстраванне поўнай метрычнай прасторы ў сябе. Таму па тэарэме Банаха існуе адзіны пункт [a,b], для якога f( ) = . Гэты пункт знаходзіцца з дапамогаю паслядоўнасці (2).