Тэарэмы аб адкрытых і замкнёных мноствах

Тэарэма 1. Аб’яднанне любога ліку адкрытых мностваў – мноства адкрытае.

Няхай G_k - адкрытае мноства. Дакажам, што - адкрытае мноства.

Выбярэм любы пункт х_о G. Па азначэнню аб’яднання мностваў пункт х_о належыць аднаму з мностваў G_k . Паколькі G_k – адкрытае мноства, то існуе

 - наваколле пункта х_о, якое цалкам ляжыць у мностве G_k : U( x_o, )  G_k 

U ( x_o,)  G. Атрымалі, што любы пункт х_о G – унутраны, а гэта значыць, што G – адкрытае мноства. 

Тэарэма 2. Перасячэнне канечнага ліку адкрытых непустых мностваў– мноства адкрытае.

Заўвага Перасячэнне бясконцага ліку адкрытых мностваў можа і не быць адкрытым мноствам.

Тэарэма 3. Перасячэнне бясконцага ліку замкнёных непустых мностваў– замкнёнае мноства.

Тэарэма 4. Аб’яднанне канечнага ліку замкнёных мностваў – мноства замкнёнае.

Заўвага. Аб’яднанне бясконцага ліку замкнёных мностваў можа быць мноствам адкрытым.

23. Паняцце поўнай метрычнай прасторы. Паўната эўклідавай р– мернай прасторы і прасторы непарыўных функцый

Азн 1.1. Няхай Х – некаторае непустое мноства любой прыроды. Разгледзім дэкартавы здабытак . Метрыкай на мностве Х называецца сапраўдная функцыя , азначаная на здабытку Х  Х і здавальнаяючая x, y, zX наступным умовам: 1) (x,y)0; (x,y)=0  x = y; 2) (x,y) = (y,x); 3) (x,y)  (x,z) + (y,z) (няроўнасць трохвугольніка). Значэнне функцыі  у пункце (x,y) , г.зн. лік (x,y) называецца адлегласцю паміж пунктамі x i y. Умовы 1-3 называюцца аксіёмамі мeтрыкі.

Азн 1.2. Мноства Х з метрыкай  на гэтым мностве, г.з. упарадкаваная пара (Х, ), называецца метрычнай прасторай (м.пр.). Элементы мноства Х называюцца элементамі або пунктамі м.пр. (Х, ).

Азн 1.3. Няхай дадзена м.пр. (Х, ), няхай МХ, _м(x,y) = (x,y). Відавочна, што і прастора ( М, _м ) у гэтым выпадку будзе метрычнай прасторай, паколькі М  М  Х  Х.. Прастора (М, _м) называецца падпрасторай метрычнай прасторы ( Х,  ).

Прыклады метрычных прастораў

Прыклад. Няхай R – мноства сапраўдных лікаў. Для любых лікаў x,yR увядзём функцыю (x,y) = х у (1.1). Відавочна, што (1.1) задавальняе аксіёмам 1 і 2 метрыкі. Пакажам, што функцыя  здавальняе аксіёме 3 x,y,zR :

(x,y) = х  у= х z + z у х  z+ z  у= (x,z) + (z,y).

Азначэнне. Паслядоўнасць (x_n) метрычнай прасторы (Х, ) называецца фундаментальнай, калі 0 Nn,m > N  (x_m,x_n).

Прыкладам фундаментальнай паслядоўнасці з'яўляецца любая збежная паслядоўнасць пунктаў метрычнай прасторы.

У прасторы R любая фундаментальная пасл-ць зб-ая. Але не ўсякая фунд-ная паслядоўнасць метрычнай прасторы (Х, ) збягаецца ў гэтай прасторы. Напрыклад, у метрычнай прасторы Х = (Q;  =х у) паслядоўнасць x_n = (1 + 1/n)ⁿ  e, калі n  , але е  I X.

Азначэнне. Метрычная прастора называецца поўнай метрычнай прасторай, калі любая паслядоўнасць пунктаў гэтай прасторы збягаецца ў ёй.

Прыклад Метрычная прастора R – поўная метрычная прастора, паколькі любая яе фундаментальная паслядоўнасць збягаецца да ліку, які належыць прасторы R. Гэта выцякае з крытэрыя Кашы.

Прыклад. Дакажам, што прастора R^m - поўная метрычная прастора.

Няхай паслядоўнасць (x_n= x₁⁽ⁿ⁾, x₂⁽ⁿ⁾,…, x_m⁽ⁿ⁾) (1) – адвольная функцыйная паслядоўнасць прасторы R^m. Пакажам, што паслядоўнасць збежная і яе ліміт належыць прасторы R^m. Па азначэнню фундаментальнай паслядоўнасці і азначэнню метрыкі ў прасторы R^m :0  p,n >N  (x_p,x_n) 

Адпаведна  x_k^(p)  x_k^(p)  . Т. ч., была дак-на фунд-ць лік-х пасл-цей (x₁⁽ⁿ⁾), (x₂⁽ⁿ⁾),…, (x_m⁽ⁿ⁾), а адсюль і іх збежнасць.

Няхай

Разгледзім пункт а = (а₁, а₂, …, а_m). Паколькі а₁, а₂, …, а_m R^m, то а R^m. Па тэарэме аб пакаардынатнай збежнасці паслядоўнасці ў прасторы (Х, ) атрымалі, што ў метрычнай прасторы R^m паслядоўнасць (x_n) збягаецца да аR^m Гэта значыць, што прастора R^m поўная метрычная прастора. 

Прыклад. Метрычная прастора С[a,b] з'яўляецца поўнай.

Няхай (x_n) – адвольная фундаментальная паслядоўнасць у метрычнай прасторы С[a,b]. Члены яе непарыўныя на [a,b] функцыі.

Дакажам, што паслядоўнасць (x_n) збягаецца ў метрычнай прасторы С[a,b]. Спачатку дакажам, што яна збягаецца да лімітавай функцыі х на адрэзку [a,b]. Па азначэнню фундаментальнай паслядоўнасці 0Nm,n > N  (x_m,x_n)   x_m (t) x_n(t)<  n>N  t[a,b] (2)

Г. зн., што t[a,b] фунд-й з’яўляецца лікавая функцыйная паслядоўнасць (x_n). Таму яна мае ліміт.

Пакажам, што лімітавая функцыя x(t) непарыўная на [a,b]. Для гэтага ў няроўнасці (2) перойдзем да ліміту пры m. Атрымаем  x (t) x_n(t)   n>N  t[a,b].

Т.ч., мы даказалі, што 0Nm,n > N  x (t) x_n(t)  .

А г.зн., што пасл-ць (x_n) раўнамерна збягаецца да функцыі х на [a,b]. Паколькі ўсе члены паслядоўнасці (x_n) непарыўныя на [a,b] функцыі, то лімітавая функцыя таксама непарыўная на гэтым адрэзку, гэта значыць з’яўляецца элементам метрычнай прасторы С[a,b]. Па тэарэме у гэтай прасторы паслядоўнасць (x_n) збягаецца да х. Гэта значыць, што прастора С[a,b] поўная метрычная прастора. 